M*9*15 22*t*8
Упростить выражение ​

Пусть выпуклый многогранник имеет f граней, k ребер и е вершин. Отделив от него какую-нибудь грань, получим многогранную поверхность Р1. Отделив от P1 грань, прилежащую к его краю, получим многогранную поверхность Р2. Продолжая этот процесс, получим через s шагов

поверхность Ps с числом

граней fs, ребер ks и вершин es.

Докажем индукцией по числу граней, равному

что

(1)

При

(то есть s = f— 1) равенство (1) верно, так как тогда

откуда

Пусть (1) верно для

, докажем (1) для

Разрежем

по ломаной, соединяющей две вершины, лежащие

на краю, образованной ребрами и не пересекающей себя. Получим поверхности

соответственно с

гранями,

ребрами,

вершинами. Так как

то

(2)

(3)

Пусть n — число ребер разреза; тогда число его вершин n + 1. Если сосчитать число ребер или вершин на

и результаты сложить, то каждое ребро или вершина разреза будут сосчитаны дважды; поэтому

кроме

того,

Тогда, складывая (2) и (3), получим

то есть

и (1)

доказано для

Тем самым (1) верно для любого fs.

В частности, при

(то есть при s=1) имеем

так как

то

   У умові помилка.
 Виправлене: "За 4 кг огірків і 5 кг помідорів заплатили 87 грн. Після того як огірки подорожчали на третину,а помідори подешевшали на третину .за 4 кг огірків і 5 кг помідорів заплатили 86грн.Визначте початкову вартість х одного кілограма огірків і початкову вартість у одного кілограма помідорів."
х - початкова цiна 1 кг огірків,
у - початкова цiна 1 кг помідорів
4x+5y=87 грн
х+1/3х - нова  цiна 1 кг огірків,
у-1/3у -  нова  цiна 1 кг помідорів
4(x+1/3x)+5(y-1/3y)=86 грн
   Система рівнянь:
{4x+5y=87 => x=(87-5y)/4
{4*4/3x+5*2/3y=86
16x/3+10y/3=86
16/3*((87-5y)/4)+10y/3=86
((1392-80y)/12)+40y/12=86
1392-40y=1032
40y=360
y=9
x=(87-5*9)/4
x=10.5

ответ: початкова вартість 1 кг огірків = 10.5 грн;
            початкова вартість 1 кг помідорів =9 грн

В условии допущена ошибка.
Исправленное: "За 4 кг огурцов и 5 кг помидоров заплатили 87 грн. После того, как огурцы полорожали на 1/3. а помидоры подешевели на 1/3, за 4 кг огурцов и 5 кг помидоров звплатили 86 грн.
     Вычислить начальную стоимость х  1 кг огурцов и начальную стоимость у1 кг помидоров.
     х - начальная стоимость 1 кг огурцов,
    у - начальная стоимость 1 кг помидоров
4x+5y=87 грн
х+1/3х -новая цена 1 кг огурцов,
у-1/3у -  новая цена 1 кг помидоров
4(x+1/3x)+5(y-1/3y)=86 грн
   Система уравнений:
{4x+5y=87 => x=(87-5y)/4
{4*4/3x+5*2/3y=86
16x/3+10y/3=86
16/3*((87-5y)/4)+10y/3=86
((1392-80y)/12)+40y/12=86
1392-40y=1032
40y=360
y=9
x=(87-5*9)/4
x=10.5
ответ: начальная стоимость 1 кг огурцов = 10.5 грн;
            начальная стоимость 1 кг помидоров =9 грн