После строительства помещения осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с помещением. Если укладывать в ряд по 12 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватит. При укладывании по 10 плиток в ряд остаётся один неполный ряд, а при укладывании по 11 плиток тоже остаётся неполный ряд, в котором на 8 плит(-ок, -и) меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 10. Сколько плиток осталось после строительства помещения?

1)  если  делитель  простое  число, то   для  деления  на  него  необходимо.  чтобы  он  входил в  составе  делителей  хотя  бы одного  из  производных.
2)  если  а  и  b  при  деление  1001  дают  одинаковые  остатки, то  сумма  остатков  должно делится  на 1001,  а  это  не  реально , т.к.  сумма  четное  и  не  может  равняться   2002 (остатки <1001).
3)   Любое  нечетное  число  на  24  не  делится,  однако  один  из  любых трех соседних  нечетных  чисел  делится  на  3.
  4)  У  простых   чисел  2  делителей (сам  число  и  1), если  число  кратен  15,  то  число  делителей  было  бы  минимум  3 (1;3;5).

1) Найти области определения и значений данной функции f.

Для аргумента и функции нет ограничений: их значения - вся числовая ось.

2) Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: а) четной или нечетной:

f(-x)=(-x)³−1 = -x³−1 = -(x³+1). Значит, функция не чётная и не нечётная.

б) не периодическая.

3) Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат:

- пересечение с осью Оу (х = 0), у = -1.

- пересечение с осью Ох (у = 0), x³−1 = 0, x³ = 1, x = ∛1 = 1.

4) Найти промежутки знакопостоянства функции f.

На основе нулей функции имеем:

- функция отрицательна при х < 1 (x ∈ (-∞; 1),

- функция положительна при х > 1 (x ∈ (1; +∞).

5) на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.

Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точка.

Находим производную функции и приравниваем нулю.

y' = 3x² = 0, x = 0 это критическая точка. Находим знаки производной левее и правее этой точки. Так как переменная в квадрате, то знак её положителен. Значит, функция на всей области определения возрастает.

Поэтому не имеет ни минимума, ни максимума.

6) Вторая производная y'' = 6x. Поэтому в точке х = 0 функция имеет перегиб. При x < 0 график функции выпуклый, при x > 0 вогнутый.

7) Асимптот функция не имеет.