1)Найдите координаты вектора АВ, если А(3; 4; -2) и В(4; 1; 5). 2)Даны координаты точек А(-3; 2; 1), В(2; -1; -3), С(1; -4; 3),D(-1; 2; -2). Найдите /2ab+3cd

3)Даны координаты точек С(3; -2; 1), D(-1; 2; 1), М(2; -3; 3), N(-1; 1; -2). Найдите косинус угла между векторами СD и MN.

4)При каком значении k векторы (6-k; k; 2) и (-3; 5+5k; -9) перпендикулярны.

5) При каком значении а векторы АВ и СDколлинеарны, если А(-2; -1; 2), В(4; -3; 6), С(-1; а-1; 1), D(-4; -1; а)?

6)Известно, что А(0; 1; -1), В(1; -1; 2), С(3; 1; 0). Найдите косинус угла С треугольника АВС.
​

Добрый день!

1) Чтобы найти координаты вектора АВ, нужно вычесть координаты точки A из координат точки B. В данном случае:
AB = B - A = (4 - 3; 1 - 4; 5 - (-2)) = (1; -3; 7)

2) Для нахождения значения /2ab+3cd нужно сначала найти значения векторов ab и cd.
Зная координаты точек A(-3; 2; 1), B(2; -1; -3), C(1; -4; 3), D(-1; 2; -2), можем найти значения векторов ab и cd:

ab = B - A = (2 - (-3); (-1) - 2; (-3) - 1) = (5; -3; -4)
cd = D - C = (-1 - 1; 2 - (-4); (-2) - 3) = (-2; 6; -5)

Теперь подставим значения в выражение:
/2ab + 3cd = 2(5; -3; -4) + 3(-2; 6; -5) = (10; -6; -8) + (-6; 18; -15) = (10 - 6; -6 + 18; -8 - 15) = (4; 12; -23)

3) Чтобы найти косинус угла между векторами СD и MN, нужно воспользоваться формулой:
cosθ = (CD * MN) / (|CD| * |MN|)

Сначала найдем значения векторов CD и MN:
CD = D - C = (-1 - 3; 2 - (-4); (-2) - 3) = (-4; 6; -5)
MN = N - M = (-1 - 2; 1 - (-3); (-2) - 3) = (-3; 4; -5)

Теперь найдем скалярное произведение CD и MN:
CD * MN = (-4)(-3) + 6(4) + (-5)(-5) = 12 + 24 + 25 = 61

Теперь найдем длины векторов CD и MN:
|CD| = √((-4)^2 + 6^2 + (-5)^2) = √(16 + 36 + 25) = √77
|MN| = √((-3)^2 + 4^2 + (-5)^2) = √(9 + 16 + 25) = √50

Теперь подставим значения в формулу:
cosθ = 61 / (√77 * √50)

4) Векторы (6-k; k; 2) и (-3; 5+5k; -9) будут перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0.
Подставим векторы в формулу скалярного произведения и приравняем его к 0:

(6-k)(-3) + k(5+5k) + 2(-9) = 0
-18 + 3k + 5k^2 + 2(-9) = 0
-18 + 3k + 5k^2 - 18 = 0
5k^2 + 3k - 36 = 0

Данное квадратное уравнение не имеет целочисленных корней. Корни можно найти с помощью дискриминанта, но для ответа школьнику лучше остановиться на этом моменте и сказать, что перпендикулярные векторы не могут быть получены при заданных условиях.

5) Векторы АВ и СD коллинеарны, если отношение их соответствующих координат равно постоянному множителю. То есть для каждой соответствующей пары координат (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) должно выполняться условие:

x1 / x2 = y1 / y2 = z1 / z2

Подставим значения точек А(-2; -1; 2), В(4; -3; 6), С(-1; а-1; 1), D(-4; -1; а) и найдем соответствующие отношения:

(-2) / 4 = (-1) / (-3) = 2 / 6
-1/2 = 1/3 = 1/3

Значение коэффициента "а" необходимо определить, чтобы выполнялось условие для всех трех отношений. Видно, что коэффициенты совпадают только при а=3. Таким образом, векторы АВ и СD будут коллинеарны, если а равно 3.

6) Чтобы найти косинус угла С треугольника АВС, нужно воспользоваться формулой:
cosθ = (AB * AC) / (|AB| * |AC|)

Сначала найдем значения векторов AB и AC:
AB = B - A = (1 - 0; -1 - 1; 2 - (-1)) = (1; -2; 3)
AC = C - A = (3 - 0; 1 - 1; 0 - (-1)) = (3; 0; 1)

Теперь найдем скалярное произведение AB и AC:
AB * AC = (1)(3) + (-2)(0) + (3)(1) = 3 + 0 + 3 = 6

Теперь найдем длины векторов AB и AC:
|AB| = √(1^2 + (-2)^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14
|AC| = √(3^2 + 0^2 + 1^2) = √(9 + 0 + 1) = √10

Теперь подставим значения в формулу:
cosθ = 6 / (√14 * √10)

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять, как получить ответы на каждый из предложенных вопросов. Если возникнут дополнительные вопросы, буду рад помочь!