6 класс
с 3 и 4, 4 надо решить более кратким

Биссектрисы углов A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Най­ди­те пло­щадь параллелограмма, если BC = 12, а рас­сто­я­ние от точки P до сто­ро­ны AB равно 9.

Решение

P — точка пересечения биссектрис, PН — высота треугольника АPВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку P.

Рассмотрим треугольники AHP и APN. Они прямоугольные, углы HAP и PAN равны, поскольку АP — биссектриса, сторона AP — общая, следовательно, треугольники равны. Тогда PN = PH = 9. Аналогично, равны треугольники BPH и BPM, откуда MP = PH = 9.

MN = PN+MP = 9+9 = 18.

Найдем площадь параллелограмма как произведение основания на высоту.

S = BC*MN =12*18 = 216

ответ: 216.

Биссектрисы углов A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Най­ди­те пло­щадь параллелограмма, если BC = 12, а рас­сто­я­ние от точки P до сто­ро­ны AB равно 9.

Решение

P — точка пересечения биссектрис, PН — высота треугольника АPВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку P.

Рассмотрим треугольники AHP и APN. Они прямоугольные, углы HAP и PAN равны, поскольку АP — биссектриса, сторона AP — общая, следовательно, треугольники равны. Тогда PN = PH = 9. Аналогично, равны треугольники BPH и BPM, откуда MP = PH = 9.

MN = PN+MP = 9+9 = 18.

Найдем площадь параллелограмма как произведение основания на высоту.

S = BC*MN =12*18 = 216

ответ: 216.