513. Аралас сандарды ондық бөлшек түрінде жазып ал 1)-7 1/2 : (-5)
2)-8 2/5 : 7
3)-11 1/5 : (-6)
4)13 4/5 : (-6)
5)-7 3/5 : (-4)
6)-18 3/4 : (-3)

Для того, чтобы найти наибольший делитель числа, разложим его на простые множители. Если в числе только 2 множителя - выбираем наибольший:

21 = 3 * 7

39 = 3 * 13

Все делители числа находятся перемножением его множителей всевозможными вариантами. В данном случае, чтобы найти наибольший делитель (если в числе больше двух множителей), достатчно число разделить на наименьший множитель:

108 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3    ⇒   108 : 2 = 54 - наибольший множитель

85 = 5 * 17

61  -  простое число   ⇒   1

9 = 3 * 3

68 = 2 * 2 * 17    ⇒   68 : 2 = 34

28 = 2 * 2 * 7     ⇒   28 : 2 = 14

73 - простое число    ⇒  1

84 = 2 * 2 * 3 * 7     ⇒   84 : 2 = 42

82 = 2 * 41

141 = 3 * 47

103 - простое число    ⇒  1

187 = 11 * 17

51 = 3 * 17

36 = 2 * 2 * 3 * 3    ⇒   36 : 2 = 18

116 = 2 * 2 * 29    ⇒   116 : 2 = 58

75 = 3 * 5 * 5    ⇒   75 : 3 = 25

140 = 2 * 2 * 5 * 7    ⇒   140 : 2 = 70

208 = 2 * 2 * 2 * 2 * 13     ⇒    208 : 2 = 104

ОДЗ. x не=0, и (-1)<=(1/x)<=1;
y=1/x;
На ОДЗ имеем, y не=0 и (-1)<=y<=1;
докажем тождество:
arcsin(y)+arccos(y) = п/2; которое верно на ОДЗ.
доказательство:
arccos(y) = (п/2) - arcsin(y);
1) 0<=(п/2) - arcsin(y) <=п;
по определению arcsin(y):
-п/2<=arcsin(y)<=п/2; <=> (-п/2)<=-arcsin(y)<=п/2, <=>
(п/2) - (п/2)<= (п/2)-arcsin(y)<= (п/2)+(п/2); <=>
0<= (п/2) - arcsin(y)<=п,
и первое доказано.
2) cos( (п/2) - arcsin(y)) = y.
cos( (п/2) - arcsin(y) ) = cos(п/2)*cos(arcsin(y)) + sin(п/2)*sin(arcsin(y)) = 
= 0*cos(arcsin(y)) + 1*sin(arcsin(y)) = sin(arcsin(y)) = y.
Итак, тождество arccos(y) + arccos(y) = п/2, верно на ОДЗ.
(п/2)<2, <=> п<4. истина. И данное в условии неравенство верно на ОДЗ. Т.е. все ОДЗ является решением.
{ x не=0,
{ (-1)<=(1/x)<=1; Эта система равносильна совокупности
x>=1 или x<=(-1).
Наименьшее положительное решение x=1.
ответ. 1.