Дискретная математика, бинарные отношения

На самом деле достаточно просто, Сначала нужно взять производную например по x, потом по y. Теоремы из мат анализа нам говорят, что смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования (Теорема Юнга или Шварца)
Возьмем например производную сначала по x
2cos^2(y - x/2)' = -4sin(y-x/2)cos(y-x/2) * (-1/2)
 (-1/2 в данном случаи это производная y - x/2, так как у нас производная сложно функции) продолжим преобразвоания
-4sin(y-x/2)cos(y-x/2) * (-1/2) = 2sin(y-x/2)cos(y-x/2) 
заметим что это синус двойного угла форумула
 2sin(y-x/2)cos(y-x/2)  = sin(2y-x)
Получили sin(2y-x) теперь возьмем производную по y
sin(2y-x)' = cos(2y-x) * 2 = 2cos(2y-x)
ответ 2cos(2y-x)

пусть звери - х , птицы - у

х+у=2500

4х+2у=6000

выразим у через уравнение :

у=2500-х

подставим во второе уравнение :

4х+2*(2500-х) = 6000

раскроем скобки :

4х+2500*2-2х=4х+5000-2х=6000

привести подобные члены :

(4-2)х+5000=6000

2х+5000=6000

перенести постоянную в правую часть и сменить её знак :

2х=6000-5000

далее решаем :

2х=1000

разделить обе части на 2 :

х=500

итак зверей у нас 500 , далее подставляем 500 вместо  Х на первое уравнение :

500+у =2500

несложно догадаться что птиц у нас 2000 но мы решаем дальше , перенесём коэффициент (числа , то есть не х и не у ) в право :

у =2500-500=2000

ответ : 500-зверей , 2000-птиц