для положительного целого k, показать что n удовлетворяет условию φ(n)=k, то 4In

2.Проверить выполнимость формулы Σ"сверху n, снизу d=1" φ(d)[n/d] = n(n+1)/2 для произвольных положительных целых n.

Х - продолжалась поездка (час)
х - 1/3 - время движения младшего брата
х - 1 - время движения старшего брата
42/(х - 1) скорость движения старшего брата
42/(х - 1/3) - скорость движения младшего брата , из условия задачи имеем
42 / (х -1) - 42 / (х - 1/3) = 4 , умножим правую и левую часть уравнения на (х - 1) *(х - 1/3) , получим 42(х -1/3) - 42(х - 1) = 4(х - 1) * (х - 1/3)       42х -14 - 42х +42 = 4х^2 - 4/3 * х  - 4х + 4/3     28 = 4х^2 -5 1/3 х +4/3      28 = 4х^2 - 16/3 *х +4/3 , умножим левую и правую часть уравнения на 3 , получим 84 = 12х^2 - 16x +4
12х^2 -16x +4 - 84 = 0       12x^2 -16x - 80 = 0      3x^2 - 4x - 20 = 0  . Найдем дискриминант уравнения = (- 4)^2 - 4 * 3 *(- 20) = 16 + 240 = 256 . Найдем корень квадратный из дискриминанта .  Он равен = 16 . Найдем корни уравнения : 1-ый = (-(-4) + 16) / 2*3 = (4 +16) / 6 = 20/6 = 3 2/6 = 3 1/3  ; 2-ой = (-(-4) - 16) / 2*3 = (4 - 16) /6 = -12/6 = - 2 . Второй корень не подходит , так как время не может быть меньше 0

An - члены арифметической прогрессии
Bn - члены геометрической прогрессии

A₁+A₃+A₉=91
A₁+(A₁+2d)+(A₁+8d)=91
3A₁+10d=91
3A₁=91-10d
A₁=91-10d
         3

A₁=B₁
A₃=B₂=B₁q=A₁q
A₉=B₃=B₁q²=A₁q²

A₃=A₁q
A₁+2d=A₁q

A₉=A₁q²
A₁+8d=A₁q²

{A₁q=A₁+2d
{A₁q²=A₁+8d

q=A₁+2d
       A₁
A₁ (A₁+2d)² = A₁+8d
          A₁²
(A₁+2d)² = A₁+8d
     A₁
(A₁+2d)²=A₁(A₁+8d)
A₁²+4A₁d+4d²=A₁²+8A₁d
A₁²-A₁²+4A₁d-8A₁d+4d²=0
-4A₁d+4d²=0
-4d(A₁-d)=0
-4d=0                    A₁-d=0
d=0                       A₁=d
не подходит

91-10d = d
    3
91-10d=3d
-10d-3d=-91
-13d=-91
d=7

A₁=7
A₃=7+2*7=7+14=21
A₉=7+8*7=7+56=63

7; 21; 63 - геометрическая прогрессия
63 - наибольшее число
ответ: 63.