В любом треугольнике высота больше диаметра вписанной окружности.
Поэтому длины высот — целые числа, большие 2, т. е. все они не меньше 3.
Пусть S — площадь треугольника,
a — наибольшая его сторона,
h — соответствующая высота.
Предположим, что треугольник неправильный.
Тогда его периметр P меньше 3a.
Поэтому 3a > P = Pr = 2S = ha, т. е. h < 3.
Получено противоречие.
