2 вариант. 1.Задает ли указанное правило функцию у-f(x), если:. В случае положительного ответа:
х+2, x 2 -1
-1; х2 3.
а) найдите область определения функции; б) вычислите значения функции в точках -3; 2; 4;
в) постройте график функции:
г) найдите промежутки монотонности функции.
f(x) --.-25x5-
2. Исследуйте функцию у=2x-xна чётность – нечётность,
x -1
x-3
3. Найдите область определения функции: а) ya
х? - 25
Б) у
уг - 7х + 12
4. Функция = f(х) периодическая, Т-4, f(5) = 7; f (2) = 1; 3) = 12.
Найти (325); ft14); ft-189).
5. Найдите функцию, обратную функции y=x1+1, x>0.
Постройте на одном чертеже графики указанных взаимно обратных функций.
6. Известно, что функция =f(x) убывает на R. Решите неравенство: f
3х + 5х +8
ѕ f(2).
х' +1
7. Докажите, что для любого neN справедливо равенство
12 +2+3+...+n (n+1)
п(n+1)(n+2)
3

Пошаговое объяснение:

( sin(x) + cos(x))^2 = 1-sin(x) * cos(x)

разложим уравнение используя (a+b)^ = a^2-ab+b^2

sin(x)^2+2sin(x)cos(x)+cos(x)^2 = 1-sin x * cos x

упрощаем выражение, используя sin(t)^2+cos(t)^2=1

1+2sin(x)cos(x) = 1-sin(x)cos(x)

упрощаем выражение, используя 2sin(t)cos(t)=sin(2t)

1+sin(2x) = 1-sin(x)cos(x)

сократим равные члены в обеих частях уравнения

sin(2x) = -sin(x)cos(x)

переместив выражение в левую часть, прибавляем противоположное ему выражение к обеим частям

sin(2x)+sin(x)cos(x) = -sin(x)cos(x)+sin(x)cos(x)

сумма двух противоположных чисел равна 0

sin(2x)+sin(x)cos(x) = 0

используем sin(2t) = 2sin(t)cos(t)

2sin(x)cos(x)+sin(x)cos(x) = 0

приводим подобные члены

3sin(x)cos(x) = 0

делим обе стороны на 3

sin(x)cos(x) = 0

если произведение равно 0, то как минимум один из множителей равен 0

sin(x) = 0

cos(x) = 0

решаем уравнение относительно х

x = kπ, k∈Z

x = +kπ, k∈Z

Объединяем

x = , k∈Z

6sin²(x) - 5cos(x) - 5 = 0

6 • (1 - cos²(x)) - 5cos(x) - 5 = 0

6 - 6cos²(x) - 5cos(x) - 5 = 0

-6cos²(x) - 5cos(x) + 1 = 0

• Пусть cos(x) = t, тогда cos²(x) = t², причём: | t | ≤ 1

-6t² - 5t + 1 = 0 / • (-1)

6t² + 5t - 1 = 0

(a = 6, b = 5, c = -1)

D = b² - 4ac

D = 5² - 4 • 6 • (-1) = 25 + 24 = 49 = 7²

t₁,₂ = (-b ± √D)/2a

t₁ = (-5 + 7)/2 • 6 = 2/12 = ⅙

t₂ = (-5 - 7)/2 • 6 = -12/12 = -1

• Оба значения подходят под наше условие: | t | ≤ 1, поэтому получаем систему:

[ cos(x) = ⅙

[ cos(x) = -1

[ x₁ = ± arccos(⅙) + 2πn, n ∈ ℤ

[ x₂ = π + 2πn, n ∈ ℤ

x₁ = ± arccos(⅙) + 2πn, n ∈ ℤ

x₂ = π + 2πn, n ∈ ℤ