1 ( ). Клиент хочет записаться на обслуживание в автосервис в один из двух дней - субботу или воскресенье. Вероятность того, что в субботу автосервис сможет принять клиента, равна 0,8. Вероятность того, что автосервис сможет принять клиента в воскресенье, равна 0,9. Вероятность того, что автосервис сможет принять клиента в любой из дней, равна 0,72. Найдите вероятность того, что сервис не сможет принять клиента ни в один из выходных. 2 ( ). В антикварной коллекции среди 11 фотокарточек есть четыре фотокарточки знаменитого артиста. Взяли наудачу (случайно) три фотокарточки. Какова вероятность того, что среди них есть хотя бы одна фотокарточка знаменитого артиста?
3 ( ). Правильный игральный кубик кидают 2 раза. Событие А состоит в том, что во второй раз выпала тройка. Событие В состоит в том, что в сумме выпало не менее 7 очков. Найдите условную вероятность P(B|A). Проверьте, являются ли события А и В независимыми.

1. Чтобы найти вероятность того, что сервис не сможет принять клиента ни в один из выходных, мы должны вычислить вероятность того, что сервис не сможет принять клиента ни в субботу, ни в воскресенье.

Пусть A - событие, когда клиент не может быть принят в субботу, и B - событие, когда клиент не может быть принят в воскресенье.

Мы знаем, что вероятность того, что сервис примет клиента в субботу, равна 0,8 (P(A) = 0,8), и вероятность того, что сервис примет клиента в воскресенье, равна 0,9 (P(B) = 0,9).

Также, нам дано, что вероятность того, что сервис сможет принять клиента в любой из дней, равна 0,72 (P(A ∪ B) = 0,72).

Мы хотим найти вероятность P(A' ∩ B'), которая обозначает вероятность того, что клиент не может быть принят ни в субботу, ни в воскресенье.

Используя формулу P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), мы можем выразить P(A ∩ B) и найти его значение:

0,72 = 0,8 + 0,9 - P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = 0,8 + 0,9 - 0,72
P(A ∩ B) = 0,98

Теперь мы можем найти P(A' ∩ B'):

P(A' ∩ B') = 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0,98 = 0,02

Таким образом, вероятность того, что сервис не сможет принять клиента ни в один из выходных, равна 0,02 или 2%.

2. Чтобы найти вероятность того, что среди трех фотокарточек будет хотя бы одна фотокарточка знаменитого артиста, мы можем использовать метод комбинаторики.

Из 11 фотокарточек, 4 из них являются фотокарточками знаменитого артиста, а 7 - не являются.

Мы можем выбрать 3 фотокарточки из всех доступных 11 фотокарточек. Количество сочетаний без учета порядка равно C(11, 3) = 165.

Теперь нам нужно вычислить количество сочетаний, где нет ни одной фотокарточки знаменитого артиста. Количество таких попаданий равно C(7, 3) = 35.

Таким образом, количество сочетаний, где хотя бы одна фотокарточка знаменитого артиста присутствует, равно 165 - 35 = 130.

Теперь мы можем найти вероятность P(A), где А - событие, когда среди трех фотокарточек есть хотя бы одна фотокарточка знаменитого артиста:

P(A) = количество исходов, где А произошло / общее количество исходов = 130 / 165 = 2 / 3 ≈ 0,7879

Таким образом, вероятность того, что среди трех фотокарточек будет хотя бы одна фотокарточка знаменитого артиста, составляет примерно 0,7879 или 78,79%.

3. Чтобы найти условную вероятность P(B|A), мы должны использовать формулу для условной вероятности:

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

Событие А состоит в том, что во второй раз выпала тройка, и событие В состоит в том, что в сумме выпало не менее 7 очков.

Мы знаем, что во второй раз выпала тройка, и условно на это событие обращаем внимание. То есть, во второй раз выпала тройка, и мы рассматриваем только эти случаи.

Нам дано, что в сумме выпало не менее 7 очков. Посмотрим на все возможные комбинации, где во второй раз выпала тройка:

При первом броске: 1+3, 2+3, 3+3, 4+3, 5+3, 6+3

Теперь мы видим, что только для комбинаций 4+3, 5+3 и 6+3 в сумме выпало не менее 7 очков.

Таким образом, P(A ∩ B) = 3 / 36 = 1 / 12 = 0,0833

Теперь нам нужно найти P(A). При двух киданиях игрального кубика, всего возможными исходами являются 36 комбинаций (6 вариантов для первого броска, умноженные на 6 вариантов для второго броска).

Таким образом, P(A) = количество исходов, где выпала тройка во второй раз / общее количество исходов = 6 / 36 = 1 / 6 ≈ 0,1667

Теперь мы можем найти условную вероятность P(B|A):

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = (1/12) / (1/6) = (1/12) * (6/1) = 1/2 = 0,5

Таким образом, условная вероятность P(B|A) равна 0,5 или 50%.

Чтобы проверить, являются ли события А и В независимыми, мы можем сравнить условную вероятность P(B|A) с вероятностью P(B).

Если P(B|A) = P(B), то события А и В независимы.

В нашем случае, P(B) = 1 - P(A), так как P(B) - это вероятность выпадения суммы очков менее 7.

P(B) = 1 - P(A) = 1 - 1/6 ≈ 0,8333

P(B|A) = 0,5

Таким образом, P(B|A) ≠ P(B), а значит, события А и В не являются независимыми.