Найдите произведения (354-359)

3log₂²(sin(пx/3))+log₂(1-cos(2пx/3))=2

ОДЗ:

{sin(пx/3)>0 <=> 6k<x<6k+3

{1-cos(2пx/3)>0 <=> x≠3k, тогда

общее ОДЗ: 6k<x<6k+3

Так как 1-cos(2x)=2sin²x, то перепишем уравнение:

3log₂²(sin(пx/3))+log₂(2sin²(пx/3))=2

Замена: t=sin(пx/3)

3log₂²t+log₂(2t²)=2

3log₂²t+log₂2+log₂(t²)=2

3log₂²t+2log₂t-1=0

Замена: z=log₂t

3z²+2z-1=0

(z+1)(3z-1)=0

z=-1 и z=1/3

log₂t=-1 => t=1/2

log₂t=1/3 => t=∛2

sin(пx/3)=1/2

x=1/2+6k, k∈Z (1)

x=5/2+6k, k∈Z (2)

sin(пx/3)=∛2>1, решений нет

Тогда по условию 1≤x≤6, подбираем такие k, при которых условие будет выполняться. Тогда подставляя в (1) и (2) получаем, что на данном промежутке будет один корень - x=5/2.

ответ: x=5/2.

70 + 25n² < m² < 80 + 25n²
70 + (5n)² < m² < 80 + (5n)²
70 < m²-(5n)² < 80
70 < (m-5n) (m+5n)< 80
Откуда получаем, учитывая, что произведение это есть число целое и не является простым:

(m-5n) (m+5n)=72
(m-5n) (m+5n)=74
(m-5n) (m+5n)=75
(m-5n) (m+5n)=76
(m-5n) (m+5n)=77
(m-5n) (m+5n)=78

Замечаем, что множители этого произведения отличаются на (m+5n)-(m-5n)= =10n n -целое

найдем делители у чисел
72=2³•3²
74=2•37
75=3•5²
76=2²•19
77=7•11
78=2•3•13

Из всех множителей этих чисел, отличающихся на 10n, где n-целое, нам подходит лишь:
75=5*15

откуда m=10, n=1

ответ m=10, n=1