Логика высказываний Модуль 2. Суждения

Суждение как форма мысли
Суждение – форма мышления, в которой отражаются связи между предметами и их свойства.

Примеры:

1.Сегодня солнечно

2.Я иду по улице

3.Все киты – млекопитающие

4.X>2

Высказывания
Под высказыванием понимают такое предложение (повествование), о котором можно

сказать одно из двух: оно истинно или оно ложно, т.е. можно определить его значение истинности.

Высказываниями не являются:

•Вопросительные предложения;

•Восклицательные предложения;

•Предложения, содержащие переменные.

Обозначения:

p, q, r – высказывания и, t, 1 – ИСТИНА

л, f, 0 – ЛОЖЬ

Логические операции над высказываниями
p – «Сегодня солнечно» q – «Я остался дома»

p и q – элементарные высказывания

Из элементарных высказываний можно получать составные высказывания:

«Сегодня солнечно, но я остался дома» «Я не остался дома»

«Если сегодня солнечно, то я не останусь дома» и т.д.

Каждому союзу, осуществляющему связь высказываний соответствует одна из пяти логических операций:

отрицание; конъюнкция; дизъюнкция; импликация; эквиваленция.

Отрицание
Логическим отрицанием высказывания p называется новое высказывание, обозначаемое p (читается: не p; неверно, что p), которое истинно, если исходное высказывание p – ложно, и ложно, если исходное высказывание p истинно.

Таблица истинности:

Пример:

p – «Петя купил мороженое»;p – «Неверно, что Петя купил мороженое» или «Петя не купил мороженое»

Конъюнкция
Конъюнкцией двух высказываний p и q называется новое высказывание, обозначаемое p&q (читается: «p и q»; «И p, и q») которое истинно в единственном случае, когда истинны оба высказывания p и q и ложно во всех остальных случаях.

Таблица истинности:

Пример:

p – «Сегодня солнечно»;q – «Я остался дома».

p&q «Сегодня солнечно и я остался дома» или «Сегодня солнечно, а (но, да) я остался дома»

Дизъюнкция
Дизъюнкцией двух высказываний p и q называется новое

высказывание, обозначаемое p۷q (читается: «p или q»; «либо p, либо q»), которое истинно в тех случаях, когда хотя бы одно из высказываний p или q истинно и ложно в единственном случае, когда и p, и q ложны.

Таблица истинности:

Пример:

p – «Сегодня солнечно»;q – «Я остался дома».

p۷q «Сегодня солнечно или я остался дома» или «Либо сегодня солнечно, либо я остался дома»

Импликация
Импликацией двух высказываний p и q называется новое высказывание, обозначаемое pכq (читается: «Если p, то q», «Из p следует q», «p влечёт q»), которое ложно в единственном случае, когда p –истинно, а q – ложно, а в остальных случаях – истинно .

Таблица истинности:

Пример:

p – «Сегодня солнечно»;q – «Я остался дома».

pכq «Если сегодня будет солнечно, то я останусь дома»

Эквиваленция
Эквиваленцией двух высказываний p и q называют новое высказывание, обозначаемое p~q (читается: «p эквивалентно q», «p тогда и только тогда, когда q»), которое истинно в том и только в том случае, когда одновременно оба высказывания p и q либо истинны, либо ложны.

Таблица истинности:

Пример:

p – «Сегодня солнечно»;q – «Я остался дома».

p~q «Я останусь сегодня дома в том и только том случае, если будет солнечно» или «Если сегодня солнечно, то я останусь дома и если я остался дома, то сегодня солнечно»

Пропозициональные переменные и пропозициональные формулы
Пропозициональные переменные (p, q, r) интерпретируются как высказывания естественных или искусственных языков

Алфавит логики высказываний: