Математика: Исследование функции y=(x^2)/(x^2-1)

1. Область определения функции: 2. Исследуем на четность.Поскольку , то эта функция четная.3. Функция не периодическая.4. Точки пересечения с осью Ох и Оу. 4.1. С осью Ох (если у=0) 4.2. C осью Оу (если х = 0)5. Точки экстремумы и монотонность функции:Приравниваем производную функции к нулю:__+___(-1)__+___(0)___-___(1)___-____Функция возрастает на промежутке и , а убывает на промежутке и В окрестности точки производная функции меняет знак с (+) на (-), следовательно, точка - точка максимума.5....

Исследование функции y=(x^2)/(x^2-1)

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ

↓

Популярные вопросы:

скорпион67

27.03.2022 06:31

Дана пирамида, у которой плоскость основания со всеми боковыми гранями образует равные углы. Которые из утверждений верны? ответ: основанием пирамиды не может быть прямоугольный...

Traken

07.02.2023 17:06

Задача. В партии рыб, среди которых 10% лещей, должны быть наудачу отобраны 6 экземпляров. Построить ряд распределения случайной величины X - числа лещей и найти P(X=3), M(X),...

KisKris1605

23.05.2023 23:00

Найдите производную функции f(х) = х^3-3х+2...

6jytu

08.05.2022 00:28

Тема : Показательные уравнения...

kitkat2122

16.10.2020 07:11

Сечение, которое проведено параллельно основанию восьмиугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 5 : 7, считая от вершины. Вычисли площадь сечения, если площадь основания...

risimonenko

03.07.2022 03:35

В столовую завезли 58 кг муки на три дня. сколько килограммов муки расходовали в каждый из трёх дней если во второй день израсходовали 35 % того что израсходовали в первый день,...

sofiaivkina84

20.09.2022 06:31

ОЧЕНЬ Графік лінійної функції — пряма, що паралельна осі Ох. Задайте цю функцію формулою, якщо відомо, що її графік проходить через точку: 1) А(1; -4); 2) В(-5; 5); 3) C(0; 3,5)....

esketit1

06.03.2021 11:27

Знайдіть tgа, якщо sina = 0,6...

agusin813

15.02.2021 16:06

Номер 8 умоляю вас я руку сломал тему пропустил...

Котя534

19.08.2020 03:19

Когда Гарри Поттер поступил на первый курс в школу «Хогвартс», на его счету в банке «Гринготтс» было 3 500 галеонов (золотых монет). Каждый год гоблины, работающие в банке, добавляли...

Ответ:

Sonyamay

30.09.2020 20:43

1. Область определения функции: $x^2-1\ne 0;\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\, x\ne \pm 1$
$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$
2. Исследуем на четность.
$y(-x)= \dfrac{(-x)^2}{(-x)^2-1} = \dfrac{x^2}{x^2-1}=y(x)$
Поскольку y(-x)=y(x)

, то эта функция четная.

3. Функция не периодическая.
4. Точки пересечения с осью Ох и Оу.
4.1. С осью Ох (если у=0)
$\dfrac{x^2}{x^2-1} =0;\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, x^2=0;\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, x=0$
4.2. C осью Оу (если х = 0)
y=0

5. Точки экстремумы и монотонность функции:
$y'= \dfrac{(x^2)'(x^2-1)-x^2(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} =- \dfrac{2x}{(x^2-1)^2}$
Приравниваем производную функции к нулю:
$- \dfrac{2x}{(x^2-1)^2}=0;\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\, x=0$

__+___(-1)__+___(0)___-___(1)___-____
Функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty;-1)$ и $x \in (-1;0)$ , а убывает на промежутке $x \in (0;1)$ и $x\in (1;+\infty)$
В окрестности точки x=0

производная функции меняет знак с (+) на (-), следовательно, точка x=0

- точка максимума.

5. Точки перегиба.
Вычисляем вторую производную функции:
$\bigg(- \dfrac{2x}{(x^2-1)^2}\bigg)'=- \dfrac{(2x)'(x^2-1)^2-2x((x^2-1)^2)'}{(x^2-1)^4} =\\ \\ \\ =- \dfrac{2(x^2-1)^2-2x\cdot 2(x^2-1)}{(x^2-1)^4} = \dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$

Приравниваем к нулю
$\dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3} =0\\ \\ 3x^2+1=0$
Уравнение решений не имеет, так как левая часть уравнения принимает только положительные значения.

___+____(-1)___-____(1)___+___
На промежутке $x \in (-\infty;-1)$ и $x \in (1;+\infty)$ функция вогнута, а на промежутке $x \in (-1;1)$ функция выпукла.

Вертикальные асимптоты: $x=\pm1$

Горизонтальные асимптоты:
$\displaystyle \dfrac{x^2}{x^2-1} = \dfrac{x^2\pm1}{x^2-1} =1+ \frac{1}{x^2-1} \to_{n\to \infty}1$
y=1

- горизонтальная асимтота

Наклонных асимптот нет.

Исследование функции y=(x^2)/(x^2-1)

0,0(0 оценок)

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку