Если площадь не превышает какого-то значения b, то решается так:
Пусть х - длина меньшего катета,
Тогда х+10 - длина большего катета.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
S = х • (х + 10) / 2
Составляем неравенство:
х • (х + 10) / 2 ≤ b
х • (х + 10) ≤ 2b
х² + 10х - 2b ≤ 0
Решаем квадратное уравнение:
D = 10² - 4(-2b) = 10² + 8b
√D = √(10² + 8b)
х1 = (-10 + √(10² + 8b)) / 2
х2 = (-10 - √(10² + 8b)) / 2 - не подходит, так как длина катета не может быть отрицательной)
Значит: х ≤ (-10 + √(10² + 8b))/2
Если бы b было равно, к примеру 12, то
х1 = (-10 + √(10² + 8•12)) / 2 =
= (-10 + √(100 • 96)) / 2 =
= (-10 + √(196) / 2 =
= (-10 + 14) / 2 = 4/2 = 2
Значит, х ≤ 2
ПРОВЕРКА:
1) х + 10 = 2+10 = 12 см) - больший катет.
2) 2 • 12 / 2 = 12 кв.см - площадь.
При длине меньшего катета меньше, чем 2, площадь будет меньше, чем 12.
Зауважимо, що якщо всі частини будуть прямокутної форми, то максимальна кількість частин, на які розрізаний квадрат, дорівнює 18. Це випливає з того, що якщо розрізати квадрат на прямокутники зі сторонами 1×2, то ми отримаємо 32 частини, а якщо на прямокутники зі сторонами 1×1, то ми отримаємо 16 частин.
Оскільки не всі частини повинні бути прямокутних, то можна розглянути дві такі частини, які мають різний периметр і обидві не є прямокутними.
Зафіксуємо пряму лінію, яка фактично розрізає квадрат на дві частини. Тоді можна помітити, що можливі три варіанти для форми однієї з частин: прямокутник, трикутник або багатокутник з більш ніж чотирма вершинами.
Якщо одна з частин має прямокутну форму, то максимальна кількість частин буде такою ж, як у випадку прямокутних частин. Якщо одна з частин має форму трикутника, то інша частина повинна складатися з двох трикутників або бути більш ніж чотирьохкутником. У першому випадку ми отримуємо три частини, у другому - п'ять. Якщо одна з частин має форму більш ніж чотирьохкутника, то інша частина повинна бути менш ніж чотирьохкутником і ми отримуємо як мінімум дві частини.
Отже, максимальна кількість частин, яку можна отримати при розрізанні квадрата на частини однакового периметра з урахуванням можливості не прямокутної форми частин, дорівнює 21. Одне з можливих розбиттів наведено на малюнку нижче.
Площа: 16 дм²
