Часть 3. Задание с развёрнутым ответом ( ).

Рис. к зад. С1

С1

Из точки А к плоскости α проведены два отрезка АС и АВ . Точка D принадлежит АВ, точка Е принадлежит АС. DЕ параллельна α и равна 5 см. Найти длину отрезка ВС, если

На каждом столе расположен листок с напечатанными задачами.

Задача 1.

Большее основание трапеции равно 8 см, а меньшее на 3 см меньше средней линии.

Найти: ВС, МК.

Дано:

ABCD - тоапеиия. AD = 8 см. МК - соедняя линия. ВС - ? на 3 см меньше МК.

Найти: ВС, МК.

Решение:

Пусть ВС = x см, тогда МК = (х + 3) см

МК = (AD + ВС) : 2; х + 3 = (х + 8) : 2; 2х + 6 = х + 8; х = 2.

ВС = 2 см,

МК = 2 + 3 = 5 (см)

ответ: ВС = 2 см, МК = 5 см.

Задача 2.

В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Периметр трапеции равен 54 дм, большее ее основание - 1,8 м. Вычислите меньшее основание трапеции.

Дано: ABCD - равнобокая трапеция. Р = 54 дм. AD = 1,8 м = 18 дм.

Найти: ВС.

Решение:

∠1 = ∠2 так как АС - биссектриса ∠А; ∠2 = ∠3, как внутренние накрест лежащие углы.

∠1 = ∠2 и ∠2 = ∠3 => ∠1 = ∠3 => ∆АВС - равнобедренный.

Пусть АВ = ВС = CD = х.

Уравнение:

3х + 18 = 54

3х = 54 - 18

3х = 36

х = 12

ответ: ВС = 12 дм.

Задача 3.

В равнобокой трапеции с острым углом 60° биссектриса этого угла делит меньшее основание, равное 16 см, пополам. Найдите среднюю линию трапеции.

Дано:

ABCD - равнобокая трапеция, ВС = 16 см.

АК - биссектриса ∠А

ВК = КС

МN - средняя линия

∠А = 60°

Найти: MN.

Решение:

Так как К - середина ВС, то ВК = КС = ВС : 2 = 16 см : 2 = 8 см.

Так как АК - биссектриса КА, то ∠1 = ∠2; ∠2 = ∠3 как внутренние накрест лежащие углы.

∠А = ∠D, АВ = CD, ∆AВЕ = ∆DCF (по гипотенузе и острому углу).

Значит, АЕ = DF, ∠АВЕ = 30°, ∆AВЕ - прямоугольный.

АЕ = АВ : 2; АЕ = 8 : 2 = 4 см.

DF = 4 см, EF = ВС = 16 см, AD = 16 + 4 + 4 = 24 см.

MN = (ВС + AD) : 2 = (16 + 24) : 2 = 20 см.

ответ: MN = 20 см

Пусть О - точка пересечения медиан треугольника АВС. Треугольники AOP и BOM подобны по двум углам (два угла равны по условию, еще два угла вертикальные). Тогда:OBAO=OMPO
Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то: 3/2BP3/2AM=3/1AM3/1BP
BPAM=AMBPAM2=BP2
AM=BP=1
Если медианы, проведенные к двум сторонам треугольника равны, то и сами стороны также равны. Значит, АС=ВС и треугольник АВС равнобедренный.

Рассмотрим треугольник АМС. По теореме косинусов, учитывая соотношение АС=2СМ, получим: −2⋅AC⋅CM⋅cosACB=2/3.

Ответ:2/3