Навесні пробуджується садок біля мого будинку.
Трава молодіє на очах, набирає зеленої сили. Усе навкруги звеселяє веселий щебет птахів. Вони повернулись із теплих країв. Більшість дерев вкриваються дрібним білим цвітом. Тільки грушка вносить рожеві барви у біле покривало. Ароматними квітковими пахощами наповнюється весняне повітря. У цю пору дбайливі господарі замалюють білилом частину стовбурів, щоб захистити дерева від шкідників. З трави піднімають свої голівки ранні квіти.
Зеленими, білими, рожевими барвами та милою мелодією звеселяє нас весняний сад.
2. Точки пересечения с осью координат X.
График функции пересекает ось X при f = 0, значит надо решить уравнение: x³ - 3x = 0.
x(x² - 3) = 0. Получаем 3 корня
x₁ = 0, х₂ = √3, х₃ = -√3.
3. Точки пересечения с осью координат Y.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x³ - 3x.
0³ - 3*0 = 0.
Результат:
f(0) = 0.
Точка:
(0, 0).
4. Экстремумы функции.
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
d
--(f(x)) = 0
dx
(производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
d
--(f(x)) = 3x² - 3.
dx
3x² - 3 = 0
Решаем это уравнение: 3(х² - 1) = 0,
Корни этого уравнения x₁ = 1 и х₂ = -1.
Значит, экстремумы в точках:
(-1, 2)
(1, -2)
5. Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
х = -2 -1 0 1 2Минимумы функции в точках: x_{2} = 1.
Максимумы функции в точках: x_{2} = -1.
Убывает на промежутках (-oo, -1] U [1, oo)
Возрастает на промежутках [-1, 1]
6. Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
2
d
---(f(x)) = 0
2
dx
(вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
2
d
---(f(x)) =
2
dx
6х = 0.
Решаем это уравнение.
Корни этого уравнения x1 = 0.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости:8. Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 3 x\right) = -∞.
Значит, горизонтальной асимптоты слева не существует
\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 3 x\right) = ∞.
Значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.
9. Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 3*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - 3 x\right)\right) = ∞
Значит, наклонной асимптоты слева не существует.
\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - 3 x\right)\right) = ∞.
Значит, наклонной асимптоты справа не существует.
10. Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x^{3} - 3 x = - x^{3} + 3 x.
- Нет
x^{3} - 3 x = - -1 x^{3} - 3 x.
- Нет.
Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
11. График дан в приложении.
