Чему равно производная функции в точке х 0

Для вычисления производной функции в точке x0 необходимо использовать формулу производной.

Данная формула гласит, что производная функции f(x) в точке x0 равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении приращения аргумента к нулю:

f'(x0) = lim (h → 0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h

В данном случае, у нас дана функция f(x) = (x^3 - 2x^2 + x - 1) / (x^2 - 1).

Чтобы найти производную в точке x0 = 1, мы должны подставить эту точку в формулу и выполнить несколько алгебраических операций.

f'(1) = lim (h → 0) [f(1 + h) - f(1)] / h

Сначала найдем значения f(1) и f(1 + h):

f(1) = [1^3 - 2(1)^2 + 1 - 1] / (1^2 - 1)
= [1 - 2 + 1 - 1] / (1 - 1)
= -1

f(1 + h) = [(1 + h)^3 - 2(1 + h)^2 + (1 + h) - 1] / ((1 + h)^2 - 1)

Теперь, подставим найденные значения в формулу производной и упростим выражение:

f'(1) = lim (h → 0) [(1 + h)^3 - 2(1 + h)^2 + (1 + h) - 1 - (-1)] / h / ((1 + h)^2 - 1)
= lim (h → 0) [h^3 + 3h^2 + 3h + 1 - 2h^2 - 4h - 2 + h + 1] / h / (h^2 + 2h + 1 - 1)
= lim (h → 0) [h^3 + h^2 - 4h + h] / h / (h^2 + 2h)
= lim (h → 0) [h(h^2 + h - 4)] / h / (h(h + 2))
= lim (h → 0) (h^2 + h - 4) / (h + 2)
= (0^2 + 0 - 4) / (0 + 2)
= -4 / 2
= -2

Таким образом, производная функции в точке x0 = 1 равна -2.