Є дві коробки, в одній 2017 цукерок, ав інший 2018. Грають двоє, ходять по черзі. За один і кожен може зісти будь-яку кількість інукерок, відмінну від нуля, з будь-якої
коробки. Правила гри не допускають, щоб після якогось ходу число цукерок в одній з
коробок ділилося на число цукерок в інший. Програк той, хто не може зробити хід. не
порушивши умов гри. Хто зможе виграти: перший початківець гри або другий
граешь, як би не трав його суперник?

В скобке правой части сумма арифметической прогрессии с разностью, равной 1 и первым членом 1, ее сумма равна (1+n)*n/2, поскольку скобка справа в квадрате, то  (1 + 2 + ... + n)²= ((1+n)*n/2)²=

(1+n)²*n²/4, значит, нужно доказать, что 1³ + 2³ + ... + n³ = (1+n)²*n²/4,

1. Берем n=1 /база/, проверяем справедливость равенства.1³=2²*1²/4=1

2. Предполагаем, что для n=к равенство выполняется.

т.е. 1³ + 2³ + ... + к³ = (1+к)²*к²/4

3. Докажем, что для n= к+1 равенство выполняется. т.е., что

1³ + 2³ + ... + (к+1)³ = (1+к)²*(2+к)²/4

(1³ + 2³ + ... к³)+ (к+1)³ =(1+к)²*к²/4+ (к+1)³=(к+1)²*(к²+4к+4)/4=(1+к)²*(2+к)²/4

Доказано.

Ат ул − бик сизгер һәм акыллы хайван. Син аны яратсаң, ул да сине ярата, тыңлый, үзенчә сәламләп тавыш бирә. Ат бик кирәкле хайван дип уйлыйм мин. Шушы гаҗәеп хайванга һәр шәһәрдә һәйкәл куйдырыр идем. Кешенең шундый ук тугры дусты − эт. Борынгы заманнардан бирле эт кешегә йортын саклаучы булып хезмәт иткән, киек аулаганда зур ярдәм күрсәткән. Сугышлар вакытында этләр ярдәмендә күперләр, танклар шартлатканнар. Хәзерге вакытта этләр төрле объектларны саклыйлар, милиция хезмәтендә торалар, МЧС ның коткаручылар отрядларында хезмәт итәләр, сукыр кешеләргә ярдәм итәләр.