Найдите все значения параметра р, при которых многочлен имеет ровно три различных корня:
1) (x + 2)(х – 1)(х – 3)(х - р)

Для начала, давайте раскроем скобки в данном многочлене:

(x + 2)(x - 1)(x - 3)(x - p)

Мы должны найти значения параметра p, при которых многочлен имеет ровно три различных корня.

Для того чтобы многочлен имел три различных корня, у него должно быть одно кратное и два одинарных корня.

Когда мы раскроем скобки, получим следующий вид многочлена:

x^4 - 3x^3 + 2x^2 - px^3 + 3px^2 - 2px + 3x^2 - 9x + 6px - 6

Для начала, объединим подобные слагаемые:

x^4 + (-3 + (-p))x^3 + (2 + 3p + 3)x^2 + (-9 + 6p - 6)x + 6

Упростим это выражение еще больше:

x^4 + (-3 + (-p))x^3 + (5 + 3p)x^2 + (6p - 9)x + 6

Чтобы найти корни данного многочлена, мы можем воспользоваться Теоремой Безу. Согласно этой теореме, если a является корнем многочлена f(x), то (x - a) является его делителем без остатка.

Таким образом, мы знаем, что если множитель (x - a) является делителем без остатка для данного многочлена, то a является его корнем.

Вернемся к нашему многочлену:

x^4 + (-3 + (-p))x^3 + (5 + 3p)x^2 + (6p - 9)x + 6

Мы знаем, что (x + 2) является делителем, поэтому, поделим многочлен на (x + 2) с помощью деления с остатком.

(x^4 + (-3 + (-p))x^3 + (5 + 3p)x^2 + (6p - 9)x + 6) / (x + 2)

Результат этого деления будет равен:

x^3 + (-5 + p)x^2 + (13 - 8p + 6/(x+2))

Обратите внимание, что остаток от деления 6 на (x + 2) ровен 6/(x + 2).

Мы знаем, что (x - 1) и (x - 3) также являются делителями, поэтому, поделим полученный кубический многочлен на (x - 1) и (x - 3).

(x^3 + (-5 + p)x^2 + (13 - 8p + 6/(x+2))) / (x - 1)

Результат этого деления будет равен:

x^2 + 6/(x - 3) + (4 + (-1 + p + 6/(x + 2))/(x - 1))

И наконец, мы можем поделить полученный квадратный многочлен на (x - p), чтобы узнать последний корень:

(x^2 + 6/(x - 3) + (4 + (-1 + p + 6/(x + 2))/(x - 1))) / (x - p)

Упрощая это выражение, получим:

1 + (6 - 2p + p^2 - 2/(x + 2))/(x - p)

Теперь, чтобы многочлен имел три различных корня, мы должны рассмотреть все возможные значения параметра p, при которых полученный многочлен имеет два одинарных и одно кратное значение в знаменателях.

Итак, если мы хотим, чтобы многочлен имел два одно кратных и одно одинарное значение, мы должны приравнять выражение в знаменателях к нулю и найти значения p, для которых это равенство выполнено.

6 - 2p + p^2 - 2/(x + 2) = 0
или
p^2 - 2p + 6 - 2/(x + 2) = 0

Теперь, чтобы найти значения p, мы должны решить данное квадратное уравнение относительно p.