Поскольку 
, то треугольники MAN и BAC подобны. Значит MN параллелен BC ⇔ BMNC - трапеция. При этом BN и MC - диагонали. В трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, продолжения боковых сторон и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой. Следовательно, AT - медиана треугольника ABC. Заметим, что отношение "расстояний" пройденных точками A и O равно искомому отношению диаметров окружностей, что равно отношению радиусов. Точка T зафиксирована. Спроецируем путь пройденный точкой O на вертикальную ось. Получим длину диаметра окружности. Данный диаметр пропорционален длине отрезка OT. Точка A пройдет весь путь окружности, проекция этого пути равна диаметру описанной окружности. Так как точка O лежит на отрезке AT, то пройденный путь пропорционален диаметру описанной окружности с тем же коэффициентом пропорциональности, что и отношение отрезка OT к соответствующему пути. Получили, что искомое отношение радиусов равно отношению 
. Пусть MB = x, AM = 3x; AN = 3y; NC = y; TC = BT; По теореме Менелая: 
, Значит 
; ответ: 7:1
1.
а) ( 130 - х ) + 35 = 50
130 - х = 50 - 35
130 - х = 15
- х = 15 - 130
- х = - 115
х = 115
проверка: ( 130 - 115 ) + 35 = 15 + 35 = 50
50 = 50
б) 197 - 37 + у = 200
160 + у = 200
у = 200 - 160
у = 40
проверка: 197 - 37 + 40 = 160 + 40 = 200
200 = 200
2.
а) ( х - 90 ) - 705 = 1000
х - 90 = 1000 + 705
х - 90 = 1705
х = 1705 + 90
х = 1795
проверка: ( 1795 - 90 ) - 705 = 1705 - 705 = 1000
1000 = 1000
б) 1800 + ( 8000 - у ) = 9000
8000 - у = 9000 - 1800
8000 - у = 7 200
- у = 7 200 - 8000
- у = - 800
у = 800
проверка: 1800 + ( 8000 - 800 ) = 1800 + 7200 = 9000
9000 = 9000
