Найти частное решение уравнения 2yy' = 1- 3x2, если y0 = 3 при x0 = 1

Пошаговое объяснение:

гегшкоеокарааоааоааоатко

Хорошо, давайте решим данное дифференциальное уравнение шаг за шагом.

Уравнение, которое дано: 2yy' = 1 - 3x^2

Давайте приступим к решению. Для начала, разделим уравнение на 2y:

yy' = (1 - 3x^2) / 2y

Далее переместим y вдоль одной стороны, а y' вдоль другой:

(1 / 2y) dy = (1 - 3x^2) dx

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения.

∫ (1 / 2y) dy = ∫ (1 - 3x^2) dx

Получим:

(1/2) ∫ (1 / y) dy = ∫ (1 - 3x^2) dx

Для левой части можем применить формулу производной от логарифма:

(1/2) ln|y| = x - x^3 + C1

где С1 - это константа интегрирования.

Теперь избавимся от логарифма, возведя обе стороны уравнения в экспоненту:

e^[(1/2) ln|y|] = e^(x - x^3 + C1)

по свойству экспоненты: e^(a ln|b|) = |b^a|

Произведем соответствующие вычисления:

√|y| = e^(x - x^3 + C1)

Далее возводим обе стороны уравнения в квадрат:

|y| = e^[(x - x^3 + C1) * 2]

или

|y| = e^(2x - 2x^3 + 2C1)

Используем свойство экспоненты: e^(a + b) = e^a * e^b

Получаем:

|y| = e^(2x) * e^(-2x^3) * e^(2C1)

Теперь, чтобы избавиться от модуля, разделим уравнение на постоянное значение экспоненты:

y = ± e^(2x) * e^(-2x^3) * e^(2C1)

Обозначим ± e^(2C1) за C, где C - новая константа. Получим окончательный ответ:

y = C * e^(2x) * e^(-2x^3)

Используя начальные значения y0 = 3 и x0 = 1, найдем значение константы C:

3 = C * e^(2*1) * e^(-2*1^3)

3 = C * e^2 * e^(-2)

3 = C * e^2 * (1 / e^2)

3 = C

Значение константы C равно 3.

Итак, частное решение данного уравнения будет:

y = 3 * e^(2x) * e^(-2x^3)