729.
Пошаговое объяснение:
Выпишем первые простые числа, которые будут являться множителями:
1, 3, 5.
Попробуем возвести в 6-ю степень (так как трёхзначные числа должны раскладываться на 6 простых множителей и будут равны их произведению) эти числа:
Число 1 не может являться простым множителем необходимого числа (так как 1 — не трёхзначное число), равно как и 5 (так как 15 625 — не трёхзначное число).
Остаётся лишь простой множитель 3 и трёхзначное число 729.
Доказать, что других чисел нет просто: 1 и 5 — ближайшие простые числа к числу 3, а поскольку они, возведённые в 6-ю степень, не подходят по условию, делаем вывод, что другие простые множители тоже не подойдут.
Если числа могут повторяться, то: на первое место (количество сотен) можно подставить 5 чисел, на второе место (количество десятков) можно подставить 5 чисел, на третье место (количество единиц) можно подставить 5 чисел.
Тогда: 5*5*5=125 вариантов
Если числа не могут повторяться, то: на первое место (количество сотен) можно подставить 5 чисел, на второе место (количество десятков) можно подставить 4 числа, на третье место (количество единиц) можно подставить 3 числа.
Тогда 5*4*3=60 вариантов
ответ: взависимости от условия или 125 (с повторами) или 60 (без повторов).
