Решить по ! в некотором многоугольнике можно провести - вопрос №1418007 от sisennova03 25.02.2022 14:12

Question

Математика: Решить по ! в некотором многоугольнике можно провести двадцать диагоналей. найти число сторон этого многоугольника (, не просто ответ, а с решением) заранее !

sisennova03 · Answer

Пусть n - число вершин многоугольника, d - количество диагоналей. Каждая вершина соединяется диагоналями со всеми вершинами, кроме двух соседних и себя самой. Таким образом, из каждой вершины можно провести (n-3) диагонали. Всего можно провести n*(n-3) диагоналей. Однако, мы сосчитали каждую диагональ дважды, тогда

$d=\frac{n(n-3)}2=\frac{n^2-3n}2$

В данной задаче d=20, то есть

$\frac{n^2-3n}2=20\\ n^2-3n=40\\ n^2-3n-40=0\\ D=9+4\cdot40=169=13^2\\ n_1=8,\;n_2=-5$

Второй корень не подходит по смыслу, значит, число вершин этого многоугольника равно 8, а значит и число сторон также равно 8.