5 задание: Любознательный турист хочет прогуляться по улицам Старого города от
вокзала (точка А на плане) до своего отеля (точка В). Турист хочет, чтобы его
маршрут был как можно длиннее, но дважды оказываться на одном и том же
перекрестке ему неинтересно, и он так не делает. Нарисуйте на плане самый
длинный возможный маршрут и докажите, что более длинного нет.
​

ответ:  10/11.

Конечно, все это можно привести к общему знаменателю, сложить, сократить, но это будет ужасно муторный процесс. Поэтому, гораздо лучше воспользоваться одним специальным правилом, подходящим для этого случая. Но для начала заметим особую последовательность:

1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + 1/(5*6) + 1/(6*7) + 1/(7*8) + 1/(8*9)

+ 1/(9*10) + 1/(10*11) = ?

Само же правило вот сто говорит:

1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... + 1/(n* (n+1))  =  n/(n + 1).

Чтобы посчитать наш ряд, достаточно, просто найти последний член этой последовательности:  1/(10*11). Мы просто ставим первое число произведения в числитель, а второе - в знаменатель. И получаем:

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 = 10/11.

Для уверенности можно проверить на калькуляторе, получится тоже самое!

P. s. Удачи!

В трехугольнике АСД угол С=90 градусов, угол Д=60, соответственно угол А=30 градусов. Так как АС биссектриса угла А трапеции, то угол САД=углу ВАС=30 градусов. Угол ВАД=60 градусов = углу Д. Трапеция равнобдренная АВ=СД. 2*СД=АД так как катет СД лежит против угла 30 градусов. Сумма углов трапеции равна 360 градусов. Угол В=углу С=(360-120)/2=120 градусов. В трехугольнике АВС угол С = 120-90=30 градусов. В этом же трехугольнике угол С=углу А - он равнобедренный. АВ=ВС. Соответственно, в трапеции АВСД АВ=ВС=СД. Периметр равен 3*АВ+АД. Так как 2*АВ=АД, то периметр равен 5*АВ=35 см. АВ=7 см.