3. В основании прямоугольного параллелепипеда — прямоуголь- ник со сторонами 5 и 12 см. Диагональ параллелепипеда обра-
зует с основанием угол 45°. Найдите площадь боковой поверх-
ности этого параллелепипеда.

Если рассматривать степени 2, то можно проследить закономерность последних цифр:
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 16
2⁵ = 32
2⁶ = 64
2⁷ = 128
2⁸ = 256
2⁹ = 512
2¹⁰ = 1024

Из этой комбинации можно заметить, например, что каждое значение со степенью 4n заканчивается на 6 (n - целое, больше нуля)

Или каждое значение со степенью (4n + 1) заканчивается на 2.
Аналогично (4n + 2) заканчивается на 4, (4n + 3) заканчивается на 8

4n + 3 = 2016
4n = 2013
n = 503.25 - не целое ⇒ не подходит ⇒ заканчивается не на 8

4n + 2 = 2016
4n = 2014
n = 503.5 - не целое ⇒ не подходит ⇒ заканчивается не на 4

4n + 1 = 2016
4n = 2015 
n = 503.75 - не целое ⇒ не подходит ⇒ заканчивается не на 2

4n = 2016
n = 504 - целое ⇒ число заканчивается на 6

Для заданий 1 и 2 необходим рисунок, поэтому можно лишь догадываться, о каких фигурах идёт речь.  Условимся обозначать степень: R^2 = R*R,  4^2 = 4*4 = 16 и т.д.

1) Предположим, что четверти окружностей проведены внутри квадрата так, что их радиус =  половине стороны квадрата, а центры окружностей совпадают с вершинами квадрата. Внутри квадрата получится фигура, напоминающая карточную масть "буби". Площадь этой фигуры требуется определить?
     Сторона квадрата = 6 см, радиус окружности R = 6/2 = 3 см. Площадь квадрата = 6*6 = 36 см2. Площадь круга s = пR^2 = п*6*6 = 36п , где п=3,1415926... (число "пи"). Искомая площадь = площадь квадрата минус площадь четырёх четвертинок круга =  площадь квадрата минус площадь целого круга:  S = (2R)*(2R) - пR^2 = 4R^2 - пR^2 = R^2(4-п) = 6*6(4-п) = 36(4 - п). Приблизительное значение будет S = 36(4 - 3,14) = 36*0,86 = 36,96 см2.

2) Если начертить указанные полуокружности радиуса R = 2,5, то внутри квадрата получится "цветочек" из 4-х одинаковых лепестков. Предположим, что требуется найти площадь именно этого  "цветочка".
     Найдём площадь одного лепестка. Разобьём данный квадрат на 4 квадрата со стороной a = 5/2 = 2,5 см. Рассмотрим один из этих квадратов. Он разобьётся на 3 не пересекающиеся области, обозначим их A + B (лепесток) + A: площадь квадрата a^2 = A+B+A. Площадь четверти круга = пR^2/4 и состоит из областей A и B, т.е. пR^2/4 = A + B. Если вычтем эту область (A+B) из квадрата, то получим область A:   A = a^2 - пR^2/4.  Обл. В, т.е. лепесток получим, если из четверти круга вычтем обл.  А:  В = пR^2/4 - А = пR^2/4 - (a^2 - пR^2/4) = пR^2/4 - a^2 + пR^2/4) = 2пR^2/4 - a^2 =   приблизительно = 3,14*2,5^2/2-2,5^2 = 2,5^2(3,14/2 – 1) = 6,25*(1,57 - 1) = 6,25*0,57 = 3,5625 см2.

Вся фигура состоит из 4 лепестков, поэтому S =  (2пR^2/4 - a^2)*4 = 3,5625*4 = 14,25 см2.

 

3) Площадь фигуры состоит из квадрата со стороной  а = 4 см. и четырёх полукругов радиуса R = a/2 = 2 см., т.е. из квадрата и двух полных кругов: S = a^2 + 2*пR^2 = 4*4 + 2* п* 2*2 = 16 + 8п = приблизительно = 16 + 8*3,14 = 16 + 25,12 = 41,12 см2.

     Периметр состоит из 4 полуокружностей = 2 окружностей. Р = 2*2пR = 8п  приблизительно = 8*3,14 = 25, 12 см.