Цилиндрической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой I. При этом линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих эту поверхность и параллельных прямой - образующей (рис. 89). В дальнейшем мы будем рассматривать только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.
Рассмотрим в плоскости Оху некоторую линию L, имеющую в системе координат Оху уравнение
Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz и направляющей L (рис. 90). Покажем, что уравнением этой поверхности будет уравнение (39), если его отнести к системе координат в пространстве . Пусть — любая фиксированная точка построенной цилиндрической поверхности.
Рис. 89
Рис. 90
Обозначим через N точку пересечения направляющей L и образующей, проходящей через точку М. Точка очевидно, будет проекцией точки М на плоскость Поэтому точки М и N имеют одну и ту же абсциссу и одну и ту же ординату у. Но точка N лежит на кривой L, и ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (39) этой кривой. Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки , так как не содержит . Таким образом, координаты любой точки данной цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению (39). Координаты же точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (39) не удовлетворяют, так как эти точки проектируются на плоскость вне кривой
Таким образом, не содержащее уравнение если его отнести к системе координат в пространстве , является уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси и направляющей L, которая в плоскости задается тем же уравнением
В пространстве направляющая L определяется системой двух уравнений:
Аналогично можно показать, что уравнение не содержащее у, и уравнение не содержащее определяют в пространстве Охуг цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям
Рис. 91
Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей.
1. Поверхность, определяемая уравнением
является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (рис. 91).
Ее образующие параллельны оси а направляющей является эллипс с полуосями а и b, лежащий в плоскости . В частности, если то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение
2. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением
называется гиперболическим цилиндром (рис. 92). Образующие этой поверхности параллельны оси а направляющей служит расположенная в плоскости гипербола с действительной полуосью а и мнимой полуосью b.
3. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением
называется параболическим цилиндром (рис. 93). Ее направляющей является парабола, лежащая в плоскости , а образующие параллельны оси Ох.
Замечание. Как известно, прямая в пространстве может быть задана уравнениями различных пар плоскостей, пересекающихся по этой прямой. Подобно этому кривая в пространстве может быть задана с уравнений различных поверхностей, пересекающихся по этой кривой.
Например, окружность С, получающаяся сечении плоскостью сферы (см. § 2, п. 1), может быть задана системой уравнений
С другой стороны, эта окружность может быть получена как пересечение плоскости и прямого кругового цилиндра т. е. задана системой уравнений
равносильной системе уравнений (44).
Рис. 92
Рис. 93
В дальнейшем, исследуя форму той или иной поверхности с сечений, параллельных координатным плоскостям, мы не раз будем пользоваться цилиндрическими поверхностями, проектирующими эти сечения на координатные плоскости. Это позволит так же, как в рассмотренном примере, судить о размерах и форме указанных сечений, а тем самым и о форме исследуемых поверхностей.
Пошаговое объяснение:
Предмет и цели естествознания Предмет Е. — различные формы движения материи в природе: их материальные носители (субстрат), образующие лестницу последовательных уровней структурной организации материи; их взаимосвязи, внутренняя структура и генезис; основные формы всякого бытия — пространство и время; закономерная связь явлений природы как общего характера, охватывающая ряд форм движения, так и специфического характера, касающаяся лишь отдельных сторон тех или иных форм движения, их субстрата и структуры. «Предмет естествознания — движущая материя... Познание различных форм движения... является главным предметом естествознания» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 33, с. 67—68).
Природа, которая служит предметом Е., рассматривается не абстрактно, вне деятельности человека, а конкретно, как находящаяся под воздействием человека, т. к. её познание достигается в итоге не только теоретической, но и практической производственной деятельности людей. Е. как отражение природы в человеческом сознании совершенствуется в процессе её активного преобразования в интересах общества.
Цели Е. — двоякие: 1) находить сущность явлений природы, их законы и на этой основе предвидеть или создавать новые явления и 2) раскрывать возможность использования на практике познанных законов, сил и веществ природы. Можно сказать: познание истины (законов природы) — непосредственная или ближайшая цель Е., содействие их практическому использованию — конечная цель Е.
Цели Е. совпадают, т. о., с целями самой человеческой деятельности. «Законы внешнего мира, природы... суть основы целесообразной деятельности человека» (Ленин В. И., Полное собрание соч., 5 изд., т. 29, с. 169).
Закономерности и особенности развития естествознания Закономерности Е. — те, которые присущи всякой науке, но с учётом специфики изучаемого им предмета. Это — а) обусловленность практикой (в конечном счёте); б) относительная самостоятельность, которая проявляется в том, что практическое решение возникающих задач может быть осуществлено лишь по достижении, в соответствии с собственной логикой, определенных ступеней самого процесса познания природы, который совершается от явлений к сущности и от менее глубокой к более глубокой сущности; в) преемственность в развитии идей и принципов Е., теорий и понятий, методов и приёмов исследования, неразрывность всего познания природы; г) постепенность развития Е. при чередовании периодов относительно спокойного, эволюционного развития и резкой революционной ломки теоретических основ Е., всей системы понятий и принципов Е., всей естественнонаучной картины мира. При этом содержание прежних знаний о природе получает дальнейшее развитие и обобщение, преодолевается прежняя универсализация, абсолютизация законов и принципов, носящих в действительности лишь ограниченный, относительный характер; д) взаимодействие наук, взаимосвязанность всех отраслей Е., когда один предмет изучается одновременно многими науками (их методами), а метод одной науки применяется к изучению предметов др. наук; е) противоречивость развития Е., доходящая до раскола на казалось бы несовместимые между собой концепции, причём на смену борющимся между собой односторонним концепциям в порядке разрешения их конфликта приходит принципиально новая концепция, охватывающая предмет в целом, диалектически; ж) повторяемость идей, концепций, представлений с постоянными возвратами к пройденному (в т. ч. исходному пункту научного развития), но на более высокой ступени этого развития; отсюда сравнение развития науки с «кругом кругов», с движением по спирали.
Необходимым условием развития Е. является свобода критики, беспрепятственное обсуждение любых спорных неясных вопросов Е., открытое столкновение мнений с целью выяснения истины, путём свободных дискуссий творческому решению возникающих проблем.
Попытки не считаться с закономерностями развития Е. влекут за собой серьёзные недостатки в деятельности отдельных учёных и целых научных школ и направлений. Отрыв от запросов техники и производства порождает уход в схоластику. Игнорирование относительной самостоятельности и внутренней логики Е. ведёт к слепому практицизму, к недооценке теории, к не учитывать реальные возможности Е. Непонимание преемственности в развитии Е. влечёт за собой нигилистическое отношение к Е. предшествующих эпох, к утрате находить исторические корни современных воззрений. Неумение различать стадии в Е. (эволюционные и революционные) вызывает либо задержку на
