2га-2000м2=? 30м2-300дм2=? 5см2-500дм2=?

Афродита (Αφροδίτη, Venus). Дочь Зевса и Дианы, по преданию, происшедшая из морской пены. Афродита — богиня любви и красоты, называвшаяся у римлян Венерой. Она была супругой Гефеста, но не была верна ему. Она любила богов Арея, Диониса, Посейдона и Гермеса и смертных Адониса и Анхиза. Парис объявил ее самой красивой из богинь и отдал ей известное яблоко раздора. Всякий, кто надевал на себя ее волшебный пояс, тотчас же делался красивым и становился предметом любви и желаний Афродиты. Обыкновенно ее сопровождает сын ее Эрот. Апрель как весенний месяц считался священным месяцем Афродиты. Ей были посвящены, как символы любви: мирт, роза, яблоко; как символы плодородия: мак, голубь, воробей, заяц; как морской богине — дельфин. Вероятно, Афродита одинакового происхождения с сирийской богиней Астартой, или Астаретой. Изображения Афродиты, из мрамора и на полотне, представляют собой одни из замечательнейших произведений древнего искусства. Таковы: Афродита, выходящая из волн, Апеллеса; Венера Книдская, работы скульптора Праксителя, стоявшая в Книде, в храме Афродиты. Фрина послужила образцом обоих этих великих произведений искусства. В Книд стекались путешественники со всех концов земли, чтобы видеть статую Венеры. Плиний и др. считали ее самой прекрасной статуей в мире. Впрочем придется отдать предпочтение Венере Милосской, найденной в 1820 г. на острове Милос (ныне Мило), одном из Цикладов, и сохраняющейся в Луврском музее в Париже. (Источник: «Краткий словарь мифологии и древностей». М.Корш. Санкт-Петербург, издание А. С. Суворина, 1894.)

Рассмотрим два случая: a делится на p; a не делится на p.

1) a делится на p;

Тогда используя сравнения запишем:

a ≡ 0 (mod p);

ap ≡ 0 (mod p);

Или ap ≡ a (mod p).

В этом случае теорема доказана.

2) a не делится на p;

Рассмотрим числа a, 2a, 3a,...,(p - 1)a (*).

Покажем, что эти числа дают разные остатки при делении на p. Очевидно, остаток также не может быть 0.

Докажем от обратного.

Пусть какие-то два числа ka, na имеют одинаковые остатки при делении на p (пусть k> n). Тогда разность ka - na делится на p. Значит (k - n)a делится на p. Но a не делится на p, а разница k - n меньше p и отлична от нуля, потому также не делится на p. Мы пришли к противоречию - наше предположение, что числа (*) могут давать одинаковые остатки при делении на p ошибочно. Запишем это:

a ≡ r1 (mod p);

2a ≡ r2 (mod p);

...

(p - 1)a ≡ rp - 1 (mod p);

Используя свойства сравнения перемножаем предыдущие сравнения. Так как всего множителей p - 1, а все остатки при делении на p разные, то справа будет (p - 1)!

ap - 1(p - 1)! ≡ (p - 1)! (mod p);

(ap - 1 - 1)(p - 1)! ≡ 0 (mod p);

Но (p - 1)! не делится на p, так как p - простое, а все множители факториала меньше p. Значит (ap - 1 - 1) делится на p.

(ap - 1 - 1) ≡ 0 (mod p);

ap - 1 ≡ 1 (mod p);

ap ≡ a (mod p);

Что и требовалось доказать.