ДАНО: Y= - 1/3*x³ + x² + 2
ИССЛЕДОВАТЬ.
1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.
2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х1 ≈ 3.45. (один)
Положительна - X∈(-∞;x1), отрицательна - X∈(x1;+∞).
3. Пересечение с осью У. У(0) = 2.
4. Поведение на бесконечности. limY(-∞) = + ∞. limY(+∞) = -∞
5. Исследование на чётность. Y(-x) = 1/3*x³+ x²+2 ≠ - Y(x).
Функция ни четная, ни нечётная.
6. Производная функции. Y'(x)= -x² +2*х = -x*(x-2).
Корни при x1 = 0 и х2 = 2. Схема знаков производной.
(-∞)__(>0)__(0)___(<0)___(2)__(>0)_____(+∞)
7. Локальные экстремумы.
Максимум Ymax(2)= 3 1/3, минимум – Ymin(0)= -2.
8. Интервалы монотонности.
Возрастает - Х∈[0;2], убывает = Х∈(-∞;0]∪[2;+∞).
8. Вторая производная - Y"(x) = -2*x + 2 = -2*(x - 1)=0.
Корень производной - точка перегиба x = 1.
9. Выпуклая “горка» Х∈(1;+∞), Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;1).
10. График в приложении.
По теореме Виета
x1 + x2 = - b/a = - 7/2 = - 3,5
x1*x2 = c/a = 1/2 = 0,5
Теперь надо разложить x1^5 + x2^5 на комбинацию сумм и произведений.
x1^5 + x2^5 = (x1+x2)(x1^4-x1^3*x2+x1^2*x2^2-x1*x2^3+x2^4) = - 3,5*A
Можете.раскрыть скобки и убедиться, что это так и есть.
Теперь надо в большой скобке выделить суммы и произведения.
A = x1^4+x1^2*x2^2+x2^4-x1*x2*(x1^2+x2^2) =
= x1^4+2x1^2*x2^2+x2^4-x1^2*x2^2-x1*x2*(x1^2+x2^2) =
= (x1^2 + x2^2)^2 - (1/2)^2 - 1/2*(x1^2+x2^2) = A
Я отдельно разложу сумму квадратов
x1^2+x2^2 = x1^2+2x1*x2+x2^2-2x1*x2 = (x1+x2)^2-2x1*x2 = (-3,5)^2-2*1/2 = 12,25-1 = 11,25
Подставляем
x1^5 + x2^5 = -3,5*A = -3,5*(11,25^2 - 1/4 - 1/2*11,25) = -3,5*120,6875 = -422,40625
