Решить систему уравнений х²+у=7 и х+у²=11 в целых числах.
Из уравнения х²+у=7 можно выразить у: у=7-х².
Из уравнения х+у²=11 можно выразить у²: у²=11-х.
Получается уравнение (7-х²)²=11-х. Решим его:
(7-х²)²=11-х,
49-14х²+х⁴=11-х,
х⁴-14х²+х+38=0.
Первый корень находим подбором среди делителей свободного члена (38): ±1, ±2, ±19, ±38.
Проверим корень -1: (-1)⁴-14*(-1)²-1+38=0;
1-14-1+38=38-14=14≠0 - не корень.
Проверим корень 1: 1⁴-14*1²+1+38=0;
1-14+39=26≠0 - не корень.
Проверим -2: (-2)⁴-14*(-2)²-2+38=0
16-56+36=-4≠0 - не корень.
Проверим 2: 2⁴-14*2²+2+38=0
16-56+40=0 - корень.
Итак, 2 является корнем уравнения х⁴-14х²+х+38=0.
Это значит, что уравнение х⁴-14х²+х+38=0 делится без остатка на х-2. В результате деления получаем х³+2х²-10х-19 (деление на картинке).
Теперь среди делителей свободного члена ищем корень кубического уравнения.
Если х=-1, тогда (-1)³+2*(-1)²-10*(-1)-19=-1+2+10-19=-8≠0.
Если х=1, тогда 1³+2*1²-10*1-19=1+2-10-19=3-29=-26.
Если х=-19, тогда (-19)³+2*(-19)²-10*(-19)-19=-6859+722+190-19=-5966≠0.
Если х=19, тогда 19³+2*19²-10*19-19=6859+722-190-19=7372≠0.
Получается, кубические уравнение х³+2х²-10х-19=0 не имеет корней в области действительных чисел.
Теперь подставим корень х=2 в уравнение у=7-х²: у=7-2²=7-4=3.
ответ: (2; 3).
