Из формулы
выразите переменную V через p и
​

Даны вершины треугольника ABC: A(1; 3; 1), B(2; 5; 0), C(4; -1; 3).

Определяем векторы.

АВ (2-1=1; 5-3=2; 0-1=-1) = (1; 2; -1). Модуль (длина) = √(1+4+1) = √6.

ВС (4-2=2; -1-5=-6; 3-0=3) = (2; -6; 3). Модуль (длина) = √(4+36+9) = √49=7.

АС (4-1=3; -1-3=-4; 3-1=2) = (3; -4; 2). Модуль (длина) = √(9+16+4) = √29.

cos A = (AC x AB) / (|AC| * |AB|) = (3*1+(-4)*2+2*(-1)) / (√29*√6) =  

= -7 / √174 ≈ -0,53067.  

Угол А = 2,13019 радиан или 122,0506 градуса.

cos B = (BA x BC) / (|BA| * |BC|) = (-1*2+(-2)*(-6)+1*3) / (√6*7) =  

= 13 / 7√6 ≈ 0,728175.

Угол В = 0,71029 радиан или 40,6964 градуса.

BA = (-1; -2; 1), BC = (2; -6; 3)

cos С = (СA x СB) / (|СA| * |СB|) = (-3*(-2)+4*6+(-2)*(-3)) / (√29*7) =  

= 36 / 7√29 ≈ 0,955005.  

Угол С = 0,30112 радиан или 17,2530 градуса.  

СА = (-3; 4; -2),СВ = (-2; 6; -3).

Площадь S = (1/2)|AB| * |AC| * sin A = (1/2)* √6*√29*sin 122,0506° = 5,59017 кв.ед.

Площадь также равна половине модуля векторного произведения векторов АВ (1; 2; -1) на АС (3; -4; 2).

i       j      k |      i      j

1      2     -1 |     1      2

3    -4     2 |     3     -4     =   4i - 3j - 4k - 2j - 4i - 6k = (0i - 5j - 10k).

S = (1/2)√(0 + 25 + 100) = (1/2)√(125 = (5/2)√5 = 2.5*2,2361 ≈ 5,59017 кв.ед.

Задачу можно решить двумя
1) посредством формул, аксиом и теорем планиметрии, изучаемых в стандартной школьной программе;
2) и через привлечение теоремы Менелая.
Решим её обоими

[[[ 1 ]]] с п о с о б

Обозначим длины сторон треугольника как:

;
;
и ;

Тогда: ;

Обозначим где – некоторое число,

такое, что: ;

Найдя это число мы найдём и пропорцию, в которой делит сторону ;

Проведём прямую тогда по трём углам:

а значит: и ;

и ;

[1] и ;

Поскольку то:

;

;

По трём углам: а значит:

и ;

Поскольку и по [1] то:

;

;

По теореме Фалеса, об отсечении параллельными прямыми внутри угла пропорциональных отрезков, получается, что:

;

Тогда получаем уравнение:

;

;

;

;

;

;

Значит и откуда ясно, что отношение, в котором точка делит сторону считая от точки будет:

;



[[[ 2 ]]] с п о с о б

Применим теорему Менелая

в треугольнике с секущей :

;

;

;

;

;

;

Отсюда: ;

;

Значит откуда ясно, что отношение, в котором точка делит сторону считая от точки будет:

;



О т в е т :