x=-2
Пошаговое объяснение:
![\[\begin{array}{l}\sqrt {12 + \sqrt {12 + \sqrt {20 + 4x + {x^2}} } } = {x^2} + 4x + 8\\\sqrt {20 + 4x + {x^2}} = t\\\sqrt {12 + \sqrt {12 + t} } = {t^2} - 12\end{array}\]](/tpl/images/1361/5392/881ee.png)
Заметим, что левая функция всегда неотрицательная, а у правой функции в неотрицательную область попаает только одна ветвь параболы. (т.к. ![\[t \ge 0\]](/tpl/images/1361/5392/8d27e.png)
)
Значит у функций будет одно пересечение(т.е. одно решение), которое не сложно подобрать при t=4.
![\[t = 4\, \Rightarrow \,\sqrt {20 + 4x + {x^2}} = 4 \Rightarrow 20 + 4x + {x^2} = 16 \Rightarrow {(x + 2)^2} = 0 \Rightarrow x = - 2\]](/tpl/images/1361/5392/a0584.png)
ответ: 
Пошаговое объяснение:
![\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt[]{20+4x+x^2} } } =x^2+4x+8\\x^2+4x+8 = (x+2)^2+4 = t\geq4 \\\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt[]{12+t} } } = t](/tpl/images/1361/5392/9b8b4.png)
Пусть:
Тогда уравнение принимает вид:
Заметим, что если 
корень уравнения 
, то он и корень уравнения:
, действительно:
Найдем все такие корни:
Заметим, что функция 
- монотонно возрастает.
Предположим, что в уравнении существует корень 
, такой, что 
Рассмотрим случай: 
.
Поскольку, - монотонно возрастает, то если для некоторых двух ее аргументов выполнено неравенство: 
, то верно и данное неравенство: 
Из данного утверждения следует, что :
Но 
, то есть мы пришли к противоречию.
Аналогично показывается невозможность утверждения для случая
. Таким образом, других корней помимо нет.
