На доске написано число 61 Каждую минуту это число стирают и пишут на доске произведение цифр этого числа, увеличенное на 13 Через минуту получилось на доске 19 Какое число будет через час?

ответ 16.

Рассмотрим числа, которые будут записаны на доске, через несколько первых минут:

Через одну минуту 6 · 1 + 13 = 19

Через две минуты 1 · 9 + 13 = 22

Через три минуты 2 · 2 + 13 = 17

Через четыре минуты 1 · 7 + 13 = 20

Через пять минут 2 · 0 + 13 = 13

Через шесть минут 1 · 3 + 13 = 16

Через семь минут 1 · 6 + 13 = 19

Заметим, что после шестой минуты числа начинают повторяться. За один час (за 60 минут) пройдет ровно 10 циклов по шесть минут. Значит, через час на доске можно будет прочитать число 16

...(продолжение решения из листочка) Почему оно второе из цикла? потому что остаток 2. Т.е. у нас есть какое-то целое количество циклов , тогда с числа , которе остаток 1 начинается наш последний цикл, а т.к. остаток два идет после числа остаток 1 , то оно последнее за час и второе в цикле ---> ответ 15