3^3cosx-cos2x=1/3

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-0.5п; п]

Давайте решим это уравнение пошагово.

Итак, у нас есть уравнение: 3^3cosx - cos2x = 1/3.

Шаг 1: Посмотрим на первый термин 3^3cosx. 3^3 равно 27, поэтому уравнение можно переписать как 27cosx - cos2x = 1/3.

Шаг 2: Обратите внимание на второй термин cos2x. Мы знаем, что cos2x = 2cos^2x - 1. Выразим cos2x через cosx: cos2x = 2(cosx)^2 - 1.

Шаг 3: Заменяем cos2x на выражение: 27cosx - (2(cosx)^2 - 1) = 1/3.

Шаг 4: Упростим уравнение, используя распределительность умножения: 27cosx - 2(cosx)^2 + 1 = 1/3.

Шаг 5: Приведем подобные элементы: -2(cosx)^2 + 27cosx + 1 - 1/3 = 0.

Шаг 6: Сократим числитель дроби и упорядочим все слагаемые: -2(cosx)^2 + 27cosx + 2/3 = 0.

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Выглядит немного сложновато, но мы можем использовать замену, чтобы упростить наше уравнение.

При равноправной замене (cosx + a)^2 = cos^2x + 2acosx + a^2, где a - это постоянное число, мы можем упростить наше выражение. Давайте взглянем на уравнение -2(cosx)^2 + 27cosx + 2/3 = 0 и попробуем найти значение a.

Шаг 7: Видим, что коэффициент перед (cosx)^2 это -2, поэтому a = sqrt(2). Теперь мы заменим это выражение и упростим уравнение.

Шаг 8: (cosx + sqrt(2))^2 = cos^2x + 2sqrt(2)cosx + 2.

Шаг 9: Подставим в наше уравнение: -2(cosx)^2 + 27cosx + 2/3 = (cosx + sqrt(2))^2.

Шаг 10: Раскроем скобку: -2(cosx)^2 + 27cosx + 2/3 = cos^2x + 2sqrt(2)cosx + 2.

Шаг 11: Посмотрим на полученное уравнение и назовем его уравнение (*): -2(cosx)^2 + 27cosx + 2/3 = cos^2x + 2sqrt(2)cosx + 2.

Мы свели исходное уравнение к более простому уравнению (*). Теперь найдем его корни.

Шаг 12: Приведем подобные элементы и упорядочим все слагаемые: -2(cosx)^2 - cos^2x + 27cosx - 2sqrt(2)cosx + 2 - 2/3 = 0.

Шаг 13: Сгруппируем слагаемые: (-2cos^2x - cos^2x) + (27cosx - 2sqrt(2)cosx) + (2 - 2/3) = 0.

Шаг 14: Упростим выражения в скобках: -3cos^2x + 25cosx + 4/3 = 0.

Теперь мы имеем квадратное уравнение -3cos^2x + 25cosx + 4/3 = 0. Решим его, используя метод дискриминанта.

Шаг 15: Найдем дискриминант D: D = b^2 - 4ac, где a = -3, b = 25, c = 4/3. Подставим значения и найдем D.

D = (25)^2 - 4(-3)(4/3) = 625 + 16 = 641.

Шаг 16: Мы получили, что D = 641. Рассмотрим три возможных случая для расчета корней:

- Если D > 0, у нас есть два различных корня.
- Если D = 0, у нас есть один корень (корень кратности 2).
- Если D < 0, у нас нет действительных корней.

Шаг 17: Поскольку D = 641 > 0, у нас есть два различных корня.

Теперь используем формулу для нахождения корней:

Шаг 18: x = (-b ± √D) / (2a).

Подставим значения: x = (-25 ± √641) / (2(-3)).

Шаг 19: Рассчитаем действительные значения корней: x = (-25 ± √641) / -6.

Шаг 20: Упростим выражение: x = (25 ± √641) / 6.

Таким образом, мы получили два значения: x1 = (25 + √641) / 6 и x2 = (25 - √641) / 6.

Наконец, мы должны найти корни уравнения, принадлежащие отрезку [-0.5п; п].
Подставим значения pi/2 и -pi/2 вместо x и проверим, принадлежат ли они этому отрезку.

Шаг 21: Подставим x = pi/2 в наше уравнение: 3^3*cos(pi/2) - cos(2*(pi/2)) = 1/3.

3^3*cos(pi/2) равно 27*cos(pi/2), что равно 0, а cos(2*(pi/2)) равно cos(pi), что равно -1.

Таким образом, получается уравнение: 0 - (-1) = 1/3, что неверно.

Значит, x = pi/2 не является корнем уравнения.

Шаг 22: Подставим x = -pi/2 в наше уравнение: 3^3*cos(-pi/2) - cos(2*(-pi/2)) = 1/3.

3^3*cos(-pi/2) равно 27*cos(-pi/2), что равно 0, а cos(2*(-pi/2)) равно cos(-pi), что также равно -1.

Таким образом, получается уравнение: 0 - (-1) = 1/3, что неверно.

Значит, x = -pi/2 также не является корнем уравнения.

Таким образом, мы не найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку [-0.5п; п].