satokostanay
18.02.2020 08:28

Найти сумму степенного ряда


Найти сумму степенного ряда

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ
Популярные вопросы:
Ответ:
SuperFox9472
30.08.2020 12:55

Пусть x=\frac{3}{5}

\sum\limits_{i=0}^{\infty} (i+1)x^i = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (x^{i+1})'=(\sum\limits_{i=0}^{\infty} x^{i+1})' = (\frac{x}{1-x})' = (-1+\frac{1}{1-x})'=\frac{1}{(1-x)^2}

\sum\limits_{i=0}^{\infty} (\frac{3}{5})^i(i+1) = \frac{1}{(1-\frac{3}{5})^2}= \frac{25}{4}

0,0(0 оценок)
Ответ:
Эвелина2019
30.08.2020 12:55

25/4

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим степенной ряд вида: \sum\limits_{i=0}^{\infty} (i+1)x^i

По признаку Даламбера и необходимому условию сходимости ряда можно заключить, что этот ряд сходится при -1

Воспользуемся трюком с почленным интегрированием и дальнейшим почленным дифференцированием ряда, которые справедливы на промежутке сходимости исходного степенного ряда:

\sum\limits_{i=0}^{\infty} (i+1)x^i = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (x^{i+1})'=(\sum\limits_{i=0}^{\infty} x^{i+1})' = (\frac{x}{1-x})' = (-1+\frac{1}{1-x})'=\frac{1}{(1-x)^2}

Подставляя x=\frac{3}{5} находим сумму искомого ряда:

\sum\limits_{i=0}^{\infty} (\frac{3}{5})^i(i+1) = \frac{1}{(1-\frac{3}{5})^2}= \frac{25}{4}

0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота