![\int \frac{x+1}{\sqrt[5]{x}+4}dx = \frac{5}{9}\sqrt[5]{x^9}-\frac{5}{2}\sqrt[5]{x^8}+\frac{80}{7}\sqrt[5]{x^7}-\frac{160}{3}\sqrt[5]{x^6}+ 256x-\frac{5115}{4}\sqrt[5]{x^4}+6820\sqrt[5]{x^3}-40920\sqrt[5]{x^2}+327360\sqrt[5]x - 1309440\ln|\sqrt[5]x+4| + C](/tpl/images/1356/1400/2d6c5.png)
Пошаговое объяснение:
![\int \frac{x+1}{\sqrt[5]{x}+4}dx](/tpl/images/1356/1400/d941f.png)
Сделаем замену переменной: ![t=\sqrt[5]{x} = x=t^5 = dx = 5t^4dt](/tpl/images/1356/1400/2aacf.png)
![\int \frac{x+1}{\sqrt[5]{x}+4}dx = \int \frac{t^5+1}{t+4}5t^4dt = 5\int \frac{t^9+t^4}{t+4}dt](/tpl/images/1356/1400/df2e3.png)
Разделим в подынтегральном выражении многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, это можно сделать либо "в столбик", либо по схеме Горнера, компактнее будет по второму варианту:
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0
-4| 1 | -4| 16|-64|256|-1023|4092|-16368|65472|-261888
То есть после деления имеем:
Возвращаясь к исходной замене, получаем:
