angelinachka3000
25.01.2022 11:16

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения второго порядка - x (y"+1)=-y'

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ
Популярные вопросы:
Ответ:
AlisaLisa005
15.10.2020 14:47

y=C_1\ln|x|-\frac{x^2}{4}+C_2

Пошаговое объяснение:

x(y''+1)=-y'

Это уравнение допускает понижение порядка с следующей замены: y'=u

x(u'+1)=-u = xu'+x=-u = xu'+u=-x;

Это неоднородное линейное уравнение. Его общее решение можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: u=u_o+\bar u

Рассмотрим однородное уравнение:

xu'+u=0 = x\frac{du}{dx} = -u = \frac{du}{u}=-\frac{dx}{x} = \ln|u|=-\ln|x|+\ln|C|=\ln|u|=\ln|\frac{C}{x}| = u_o=\frac{C}{x}

Частное решение неоднородного уравнения имеет смысл искать в виде: \bar u = Ax+B:

xA+Ax+B=-x = 2Ax+B=-x = A=-\frac{1}{2}, B=0 = \bar u = -\frac{x}{2}

То есть общее решение есть: u = \frac{C}{x} -\frac{x}{2}

Возвращаемся к замене:

y' = \frac{C}{x} - \frac{x}{2} = y=\int (\frac{C}{x}-\frac{x}{2})dx = C_1\ln|x|-\frac{x^2}{2} + C_2

0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота