Длины сторон параллелограмма:
АВ = CD = 3 см; ВС = AD = 9 см
Пошаговое объяснение:
Требуется найти стороны параллелограмма.
Для того, чтобы решить задачу, сделаем чертеж.
Из вершины В опустим высоту на AD.
Дано: ABCD - параллелограмм;
ВС : АВ = 3;
BD = 3√7 см; ∠А = 60°.
Найти: AB; BC; CD; AD.
1. По условию: ВС : АВ = 3.
Пусть АВ = х см, тогда ВС = 3х см.
Противоположные стороны параллелограмма равны.⇒ АВ = CD = x см; ВС = AD = 3x см.
2. Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный.
∠А = 60° (по условию)
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.⇒ ∠АВН = 90° - 60° = 30°
Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.⇒ 
По теореме Пифагора:
3. Рассмотрим ΔHBD - прямоугольный.
По теореме Пифагора:
Подставим значения и решим уравнение:
Стороны АВ = CD = 3 см.
Найдем ВС:
Стороны ВС = AD = 9 см.
Zadanie 4 (Задание 4)
Найдите количество деревьев на n вершинах, в которых степень каждой вершины не больше 2.
n=1 => дерево состоит из одной вершины степени 0.
n>=2 => 1] Вершины степени 0 быть не может (иначе граф несвязный). Значит степень вершин либо 1, либо 2. 2] существует простая цепь, являющаяся подграфом дерева.
Тогда будем достраивать дерево из цепи. Ребро - простая цепь.
Алгоритм:
Изначально есть ребро <u,v>. Степени концов цепи - вершин u и v - равны 1.
Если на данном шаге число вершин в графе равно n - получен один из искомых графов, больше его не изменяем.
Если же число вершин < n, добавляем ребро.
На 1ом шаге мы можем добавить либо ребро <u,a>, либо ребро <a,v>. Без нарушения общности, добавим <u,a>. У нас все еще простая цепь. При этом у концов a и v степень 1, а у всех остальных вершин, здесь это вершина u, - 2, и к ним ребра присоединить уже нельзя. Повторяя подобные операции, будем получать на каждом шаге простую цепь.
На n вершинах можно построить ровно одну простую цепь. А значит и число искомых деревьев равно 1 .
Zadanie 5 (Задание 5)
Покажите, что для графа G=[V,E] с k компонентами связности верно неравенство 
Введем обозначения 
Разобьем граф на компоненты связности. Для каждой компоненты, очевидно, верно неравенство 
. Просуммировав неравенства для каждой из k компонент, получим 
.
Оценка снизу получена.
Лемма: Граф имеет максимальное число ребер, если он имеет k-1 тривиальную компоненту связности и 1 компоненту, являющуюся полным графом. И действительно. Пусть 
– компоненты связности, 
. Тогда при "переносе" одной вершины из 
в 
число ребер увеличится на 
– а значит такая "конфигурация" неоптимальная, и несколькими преобразованиями сводится к указанной в лемме. А тогда максимальное число ребер в графе равно 
Оценка сверху получена.
Zadanie 6 (Задание 6)
Проверьте, являются ли следующие последовательности графическими, обоснуйте ответ
Решение в приложении к ответу
