Вычислите lim x 2 x2-7x+10\ x2-5x+6

Для вычисления предела, сначала посмотрим на функцию в знаменателе:

x^2 - 5x + 6

Мы видим, что это квадратный трехчлен, который можно факторизовать:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Теперь посмотрим на функцию в числителе:

x^2 - 7x + 10

Также факторизуем ее:

x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)

Теперь введем новую функцию:

f(x) = (x - 2)(x - 5) / (x - 2)(x - 3)

В нашем изначальном пределе, значение x не может быть равно 2 или 3, так как это значение знаменателя приведет к неопределенности. Вместо этого, мы можем рассматривать предел при стремлении x к 2 или 3.

Теперь, чтобы найти предел этой функции при x, стремящемся к 2, мы можем подставить x = 2 в функцию f(x):

lim(x->2) f(x) = (2 - 2)(2 - 5) / (2 - 2)(2 - 3) = 0/0

Мы видим, что здесь будет неопределенность типа 0/0, что означает, что нам нужно применить правило Лопиталя. Правило Лопиталя утверждает, что если у нас есть неопределенность вида 0/0, то можно взять производные числителя и знаменателя по переменной, стремящейся к определенному значению, а затем вычислить предел новой функции.

В данном случае это будет выглядеть так:

lim(x->2) f(x) = lim(x->2) (d/dx(x - 2)(x - 5)) / (d/dx(x - 2)(x - 3))

Посчитаем производные числителя и знаменателя:

(d/dx(x - 2)(x - 5)) = (1)(x - 5) + (x - 2)(1) = 2x - 7
(d/dx(x - 2)(x - 3)) = (1)(x - 3) + (x - 2)(1) = 2x - 5

Теперь вычислим предел новой функции:

lim(x->2) f(x) = lim(x->2) (2x - 7) / (2x - 5)

Для нахождения этого предела мы можем просто подставить x = 2 в полученную функцию:

lim(x->2) f(x) = (2(2) - 7) / (2(2) - 5) = (4 - 7) / (4 - 5) = -3/-1 = 3

Таким образом, предел функции при x, стремящемся к 2, равен 3.

Аналогично, для получения предела функции при x, стремящемся к 3, мы можем использовать те же шаги:

lim(x->3) f(x) = lim(x->3) (2x - 7) / (2x - 5)

Подставляем x = 3:

lim(x->3) f(x) = (2(3) - 7) / (2(3) - 5) = (6 - 7) / (6 - 5) = -1/1 = -1

Таким образом, предел функции при x, стремящемся к 3, равен -1.

Итак, ответ на ваш вопрос: lim x^2-7x+10 / x^2-5x+6 при x, стремящемся к 2 или 3, равен 3 при x, стремящемся к 2, и равен -1 при x, стремящемся к 3.