Пошаговое объяснение:
площадь фигуры равна определенному интегралу от разницы у₁(х) - у₂(х),
пределы интегрирования - это точки пересечения функций
напишем формулы в удобном виде
у₁ = 2х - х²
у₂ = -х
найдем точки пересечения функций
2х -х² = -х
х²-2х -х =0 ⇒ х²-3х = 0 ⇒ х(х-3) = 0 ⇒ х₁ = 0, х₂ = 3
это есть точки, где графики пересекаются, и эти же значения есть пределы интегрирования
интеграл разности равен разности интегралов. константу выносим за знак интеграла. получим
![= 3\int\limits^3_0 {x} \, dx - \int\limits^3_0 {x^{2} x} \, dx =\left[\begin{array}{ccc}\int\limits {x^{2} } \, dx =\frac{x^{3} }{3} \\\int\limits {x} \, dx = \frac{x^{2} }{2} \\\end{array}\right] =](/tpl/images/1351/2024/7a86b.png)
здесь в скобках указаны табличные интегралы. ими и воспользуемся
(3х² / 2) Ι₀³ - (х³/3) Ι₀³ = -9 + 27/2 = 9/2
S = 9/2
