Рассмотрим граф G с вершинами в городах, ребра которого соответствуют дорогам. Докажем, что вершины этого графа можно покрасить в 2N + 2 цвета правильным образом (то есть так, чтобы никакие две вершины одинакового цвета не были соединены ребром). Это равносильно утверждению задачи.
Выберем по одному ребру в каждом нечётном цикле графа G. Назовём эти ребра плохими, а остальные – хорошими. Удалив из графа G плохие рёбра, мы получим граф, в котором нет циклов нечётной длины.
Лемма. Вершины графа без нечётных циклов можно раскрасить правильным образом в два цвета.
Доказательство. Достаточно доказать лемму для связного графа. Выберем вершину A и припишем каждой вершине число, равное минимальной длине пути до неё из A. Тогда два одинаковых числа не стоят рядом (иначе есть нечётный цикл). Раскрасив все чётные вершины в один цвет, а нечётные – в другой, получим требуемое.
Таким образом, вершины графа G можно покрасить в два цвета (пусть это цвета a и b) так, что никакие две вершины одного цвета не соединены хорошим ребром.
Поскольку через каждую вершину графа G проходит не более N нечётных циклов, то из каждой вершины выходит не более N плохих рёбер.
Следовательно, мы можем раскрасить вершины графа G в N + 1 цвет так, чтобы никакие две из них не были соединены в графе G плохим ребром. (Будем красить вершины по очереди. Добавляя очередную вершину A, заметим, что среди покрашенных ранее она соединена плохими ребрами не более, чем с N вершинами, следовательно, мы можем покрасить вершину A в цвет, отличный от цветов ранее покрашенных вершин, соединенных с A плохими рёбрами.)
После этого у всех вершин изменим оттенок на светлый, если в первой раскраске она была покрашена в цвет a, и на тёмный, если она была покрашена в цвет b.
В полученной раскраске используется 2N + 2 цвета (с учетом оттенков), и никакие две вершины одного цвета не соединены ребром
Казахста́н (каз. Қазақстан, Qazaqstan [qɑzɑqˈstɑn] Информация о файле слушать), официальное название — Респу́блика Казахста́н (каз. Қазақстан Республикасы; Qazaqstan Respýblıkasy), (аббревиатура РК) — государство в центре Евразии, бо́льшая часть которого относится к Азии, меньшая — к Европе. Площадь территории — 2 724 902 км². Население, по итогам переписи 2009 года, составляло 16 004 800 человек, по оценкам государственного комитета по статистике на 1 февраля 2020 года — 18 653 500 человек. Плотность населения является одной из самых низких: менее 6 человек на квадратный километр. Столица — Нур-Султан. Крупнейший город с населением более 1,8 млн человек — Алма-Ата. Занимает 9-е место в мире по территории, 2-е место среди стран СНГ (после России), 42-е — по объёму ВВП по ППС и 64-е — по численности населения.
Казахстан официально является демократической, светской, унитарной, конституционной республикой с разнообразным культурным наследием[9]. Местность Казахстана включает равнины, степи, тайгу, скальные каньоны, холмы, дельты, заснеженные горы и пустыни. В экономике доминирует углеводородная промышленность, а занятость населения максимальна в сфере услуг[10]. Ныне правительство прилагает усилия по диверсификации и планирует переключение национальной индустрии на производство товаров с высокой прибавочной стоимостью .Перейти к разделу
Пошаговое объяснение:
