РЕШИТЬ
Даны точки A(1;2;3), B(-1;3;5), C(2;0;4), D(3;-1;2). Найти:

1) общее уравнение плоскости АВС;

2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС;

3) расстояние от точки D до плоскости ABC;

4) канонические уравнения прямой АВ;

5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB;

6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB.

1) Чтобы найти общее уравнение плоскости АВС, воспользуемся формулой для уравнения плоскости. Уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где A, B и C - коэффициенты, определяющие нормальное направление плоскости, а D - свободный член.

Для начала, для нахождения нормального направления плоскости АВС, возьмем два вектора, например, AB и AC. Вычислим их векторное произведение, чтобы получить вектор, перпендикулярный плоскости АВС. Затем возьмем любую точку плоскости, например, точку A, и подставим ее координаты в уравнение плоскости, чтобы найти свободный член D.

Вектор AB: (-1 - 1, 3 - 2, 5 - 3) = (-2, 1, 2)
Вектор AC: (2 - 1, 0 - 2, 4 - 3) = (1, -2, 1)

Теперь найдем их векторное произведение:
AB × AC = ((1*1) - (-2*-2), (-2*1) - (1*1), (1*2) - (-2*1))
= (1 - 4, -2 - 1, 2 + 2)
= (-3, -3, 4)

Таким образом, вектор (-3, -3, 4) является нормальным вектором плоскости АВС.

Подставим координаты точки A(1, 2, 3) в уравнение плоскости и найдем свободный член D:
(-3*1) + (-3*2) + (4*3) + D = 0
-3 - 6 + 12 + D = 0
D = -3 + 6 - 12
D = -9

Таким образом, общее уравнение плоскости АВС имеет вид: -3x - 3y + 4z - 9 = 0.

2) Чтобы найти общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС, мы можем использовать тот же нормальный вектор (-3, -3, 4), так как плоскости параллельны, а свободный член будет другим, так как через другую точку проходит. Подставим координаты точки D(3, -1, 2) в уравнение плоскости и найдем свободный член К:
-3*3 - 3*-1 + 4*2 + K = 0
-9 + 3 + 8 + K = 0
K = -2

Таким образом, общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС, имеет вид: -3x - 3y + 4z - 2 = 0.

3) Чтобы найти расстояние от точки D до плоскости АВС, мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между точкой и плоскостью. Расстояние можно выразить как модуль выражения (Ax + By + Cz + D) / sqrt(A^2 + B^2 + C^2), где (x, y, z) - координаты точки, а A, B, C и D - коэффициенты общего уравнения плоскости.

Подставим координаты точки D(3, -1, 2) в уравнение плоскости:
-3*3 - 3*-1 + 4*2 - 9 = -9 + 3 + 8 - 9 = -7

Теперь подставим координаты и найденный свободный член в формулу расстояния:
| (-3*3 - 3*-1 + 4*2 - 9) / sqrt((-3)^2 + (-3)^2 + 4^2) |
= | (-7) / sqrt(9 + 9 + 16) |
= | (-7) / sqrt(34) |

Таким образом, расстояние от точки D до плоскости АВС равно | (-7) / sqrt(34) |.

4) Канонические уравнения прямой АВ можно найти, вычислив направляющий вектор прямой и подставив координаты одной из точек прямой в уравнение прямой. Направляющий вектор прямой AB можно получить, вычислив разность координат между точками A и B.

A(1, 2, 3), B(-1, 3, 5)
Вектор AB = (-1 - 1, 3 - 2, 5 - 3) = (-2, 1, 2)

Теперь подставим координаты точки A(1, 2, 3) и направляющий вектор (-2, 1, 2) в уравнение прямой:
x = 1 - 2t
y = 2 + t
z = 3 + 2t

Таким образом, канонические уравнения прямой AB имеют вид: x = 1 - 2t, y = 2 + t, z = 3 + 2t.

5) Чтобы найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB, мы можем использовать тот же направляющий вектор (-2, 1, 2), так как прямые параллельны, а точка будет другой, так как не совпадает с точкой A.

Подставим координаты точки D(3, -1, 2) в уравнение прямой:
x = 3 - 2t
y = -1 + t
z = 2 + 2t

Таким образом, канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB, имеют вид: x = 3 - 2t, y = -1 + t, z = 2 + 2t.

6) Чтобы найти общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB, мы можем использовать тот же нормальный вектор, который мы нашли в первом пункте (-3, -3, 4), так как плоскость будет перпендикулярна прямой. Также нам нужно найти свободный член плоскости, подставив координаты точки D(3, -1, 2) в уравнение плоскости.

-3*3 - 3*-1 + 4*2 + D = 0
-9 + 3 + 8 + D = 0
D = -2

Таким образом, общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB, имеет вид: -3x - 3y + 4z - 2 = 0.