Свысшей 3. даны векторы а1 = (4; -3; 8), а2 = (-7; -1; 5), b = (4; -β; 3+β). найти все значения β, при которых вектор b линейно выражается через векторы а1 и а2 . 4. дана система векторов а1 = (-3; 1; 5; 7), а2 = (2; -3; 1; 8), а3 = (-5; 4; 4; -1), а4 = (1; -5; 6; 20), а5 = (-3; -6; 16; 39). найти всевозможные линейные зависимости между этими векторами. можно ли вектор а5 линейно выразить через векторы а1 и а2? можно ли вектор а5 линейно выразить через векторы а1 , а2 , а3 , а4? найти какой-нибудь базис данной системы векторов. выразить все векторы данной системы через векторы найденного базиса. 5.. выяснить, является ли линейным пространством. 1) множество векторов на плоскости с началом в начале координат, концы которых лежат в первой четверти системы координат, с операциями сложения векторов и умножения вектора на число; 2) множество векторов на плоскости с началом в начале координат, концы которых лежат на фиксированной прямой, с операциями сложения векторов и умножения вектора на число; 3) множество векторов из rn, компоненты которых целые числа, с операциями сложения векторов и умножения вектора на число; 4) множество векторов из rn, четные компоненты которых равны нулю, с операциями сложения векторов и умножения вектора на число; 5) множество верхнетреугольных матриц фиксированного порядка, с операциями сложения матриц и умножения матрицы на число; 6) множество диагональных матриц фиксированного порядка, с операциями сложения матриц и умножения матрицы на число; 7) множество симметрических матриц фиксированного порядка, с операциями сложения матриц и умножения матрицы на число; 8) множество кососимметрических матриц фиксированного порядка, с операциями сложения матриц и умножения матрицы на число; 9) множество функций, непрерывных на отрезке [a; b], с поточечными операциями сложения функций и умножения функции на число; 10) множество функций, дифференцируемых на отрезке [a; b], с поточечными операциями сложения функций и умножения функции на число; 11) множество функций, интегрируемых (по риману) на отрезке [a; b], с поточечными операциями сложения функций и умножения функции на число; 12) множество функций, принимающих на концах отрезка [a; b] равные значения, с поточечными операциями сложения функций и умножения функции на число; 13) множество многочленов от х, степень которых равна n, с операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число; 14) множество многочленов от х, степень которых не больше n, с операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число. 6. векторы e1, e2, e3, e4, f1, f2, f3, f4, x заданы координатами в некотором базисе линейного пространства l. проверить, что каждый из наборов e1, e2, e3, e4, и f1, f2, f3, f4 является базисом в l. найти матрицу перехода от первого базиса ко второму, матрицу обратного перехода, а также координаты вектора х в каждом из этих базисов: 1) e1 = (1; -1; 2; 0), e2 = (-2; 3; -5; 1), e3 = (-1; -1; 1; 0), e4 = (1; 0; 2; 4), f1 = (1; 0; 1; 1), f2 = (-3; 4; -7; 1) f3 = (-1; 1; -1; 2), f4 = (1; -1; 3; 3), x = (1; 1; 1; 1); 2) e1 = (1; 0; -2; 3), e2 = (1; 1; -1; 5), e3 = (-2; 0; 5; -1), e4 = (1; 1; 0; 11), f1 = (1; 2; 0; 7), f2 = (-2; 1; 5; -4) f3 = (1; 1; -2; 0), f4 = (1; 1; -1; 6), x = (-1; -1; 2; 2); 3) e1 = (1; 1; 1; 1), e2 = (0; 1; 2; 1), e3 = (-1; 1; 4; 2), e4 = (3; 1; -6; -3), f1 = (1; 1; 2; 3), f2 = (2; 0; 4; 7) f3 = (2; 2; 5; 7), f4 = (-1; 3; 1; -1), x = (2; 3; -1; -1); 4) e1 = (1; 2; 1; 1), e2 = (-3; -5; -2; -1), e3 = (0; 3; 4; 7), e4 = (0; 1; -1; 1), f1 = (1; 2; 1; -1), f2 = (2; 3; 1; -3) f3 = (2; 2; -1; -3), f4 = (2; 7; 7; 0), x = (-1; 0; 1; 1). 7. применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис линейной оболочки системы векторов а1, а2, а3, а4, заданных своими координатами в некотором ортонормированном базисе, а1 = (1; 2; 0; 1), a2 = (1; 1; 1; 0), a3 = (1; 0; 1; 0), a4 = (1; 3; 0; 1).