Для начала, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данной параболой и осью абсцисс, нам нужно определить, где парабола пересекает ось абсцисс.
Для этого, надо приравнять функцию к нулю и решить уравнение:
0 = -2(x-1)^2 + 8
Далее, распишем это уравнение и приведем его к более удобному виду для решения:
-2(x-1)^2 + 8 = 0
(x-1)^2 = 4
x-1 = ±√4
x-1 = ±2
Теперь найдем два значения x, при которых парабола пересекает ось абсцисс:
x₁ = 1 + 2 = 3
x₂ = 1 - 2 = -1
Теперь, чтобы найти площадь ограниченной фигуры, мы должны найти определенный интеграл от функции по оси x от -1 до 3. Формула для нахождения площади под графиком функции f(x) на заданном интервале x имеет вид:
Площадь = ∫[a;b] f(x) dx
где a и b - границы интервала, в данном случае -1 и 3.
Таким образом, формула выглядит так:
Площадь = ∫[-1;3] f(x) dx
Далее, чтобы интегрировать данную функцию, мы можем использовать метод антидифференцирования. Проинтегрируем функцию f(x) по отношению к x:
∫ f(x) dx = ∫ (-2(x-1)^2 + 8) dx
∫ f(x) dx = ∫ (-2x^2 + 4x - 2 + 8) dx
∫ f(x) dx = ∫ (-2x^2 + 4x + 6) dx
Теперь найдем интеграл для каждого члена отдельно:
