Входе социологических исследований, касающихся отношения к реформе медицинского образования, проведенных в пермском крае и нижегородской области были получены следующие результаты: субъект федерации доволен недоволен пермский край 21 115 нижегородская область 11 165 по имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи между признаками; 2) при уровне значимости а(альфа)=0,05 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков.

Для начала, создадим таблицу сопряженности, чтобы увидеть количество довольных и недовольных субъектов федерации:

Довольны Недовольны
Пермский край 21 115 ?
Нижегородская область 11 165 ?

Из условия задачи видно, что количество недовольных в пермском крае не указано. Поэтому, чтобы найти недостающее значение, нужно вычислить разницу между общим количеством субъектов федерации и количеством довольных субъектов федерации:

Количество недовольных в пермском крае = Общее количество субъектов федерации - Количество довольных в пермском крае
= 21 115 + ? - 21 115

Так как нам также дано общее количество субъектов федерации в нижегородской области, мы можем рассчитать количество недовольных субъектов федерации в этом регионе:

Количество недовольных в нижегородской области = Общее количество субъектов федерации - Количество довольных в нижегородской области
= 11 165 + ? - 11 165

Теперь, когда у нас есть все данные, мы можем создать полную таблицу сопряженности:

Довольны Недовольны
Пермский край 21 115 ?
Нижегородская область 11 165 ?

Для оценки тесноты связи между признаками можно использовать коэффициент V Крамера. Данный коэффициент представляет собой меру ассоциативной связи между признаками и принимает значения от 0 до 1. Чем ближе значение V Крамера к 1, тем сильнее связь между признаками.

Формула для вычисления V Крамера для таблицы сопряженности размером 2x2 следующая:

V Крамера = корень из (χ^2 / (n * (min(k, r) - 1)))

где
χ^2 - хи-квадрат статистика (вычисляется далее),
n - общее количество наблюдений (сумма всех ячеек в таблице сопряженности),
k - количество строк в таблице,
r - количество столбцов в таблице.

Давайте продолжим решение задачи и выполним расчеты. Добавим в таблицу сопряженности количества недовольных субъектов федерации:

Довольны Недовольны
Пермский край 21 115 ?
Нижегородская область 11 165 ?

Теперь у нас есть два наблюдения в каждой ячейке таблицы.

Общее количество наблюдений:
n = 21 115 + ? + 11 165 + ? = 32 280 + 2?

Количество строк в таблице:
k = 2

Количество столбцов в таблице:
r = 2

Теперь мы можем рассчитать хи-квадрат статистику (χ^2). Формула для ее вычисления для таблицы сопряженности размером 2x2 следующая:

χ^2 = n * [(ад - ед)^2 / ед + (ад - ен)^2 / ен]

где
ад - наблюдаемое количество в ячейке (actual),
ед - ожидаемое количество в ячейке при независимости признаков (expected),
ен - ожидаемое количество в ячейке при независимости признаков (expected).

Для начала, нам нужно найти ожидаемые значения, используя следующую формулу:

ожидаемое количество = (сумма по строке * сумма по столбцу) / общее количество наблюдений

Рассчитаем ожидаемые значения для каждой ячейки таблицы:

Если мы предполагаем, что признаки независимы, то ожидаемое количество в ячейке "Довольны" и "Пермский край" будет:

ожидаемое количество = (сумма по строке * сумма по столбцу) / общее количество наблюдений
= (21115 * (21115 + ?)) / (32280 + 2?)
= (21115 * 21115 + 21115 * ?) / (32280 + 2?)

Аналогично, ожидаемое количество в ячейке "Недовольны" и "Пермский край" будет:

ожидаемое количество = (сумма по строке * сумма по столбцу) / общее количество наблюдений
= (ед - ен) + ен
= (21115 + ?) - (21115 + ?)
= ?

Аналогично, ожидаемое количество в ячейке "Довольны" и "Нижегородская область" будет:

ожидаемое количество = ?

Аналогично, ожидаемое количество в ячейке "Недовольны" и "Нижегородская область" будет:

ожидаемое количество = ?

Подставим ожидаемые значения в формулу для χ^2 и выполним вычисления:

χ^2 = n * [(ад - ед)^2 / ед + (ад - ен)^2 / ен]
= (32280 + 2?) * [((21115 - ожидаемое количество в ячейке "Довольны" и "Пермский край")^2 / ожидаемое количество в ячейке "Довольны" и "Пермский край") + (? - ожидаемое количество в ячейке "Недовольны" и "Пермский край")^2 / ожидаемое количество в ячейке "Недовольны" и "Пермский край") + ((21115 - ожидаемое количество в ячейке "Довольны" и "Нижегородская область")^2 / ожидаемое количество в ячейке "Довольны" и "Нижегородская область") + (? - ожидаемое количество в ячейке "Недовольны" и "Нижегородская область")^2 / ожидаемое количество в ячейке "Недовольны" и "Нижегородская область")]

Теперь, когда у нас есть значение хи-квадрат статистики (χ^2), а также значения для n, k и r, мы можем рассчитать коэффициент V Крамера:

V Крамера = корень из (χ^2 / (n * (min(k, r) - 1)))

Подставим значения и выполним вычисления:

V Крамера = корень из (χ^2 / (32280 + 2?))