Самостоятельная работа
В треугольнике ABC MN, средняя
линия, м е AB, Ne BC, O — точка
пересечения медиан.
—
Найдите координаты вершин
треугольника, если
м2; -1), N(0; -1), О1; -2).
2
Найдите длины медиан АN и СМ.
3
Три вершины ромба находятся в точ-
ках A, B и C. Определите координаты
его четвертой вершины.
4
Докажите, что точка
К(2; -3)
принадлежит медиане АN и делит ее
в отношении 1:2.​

Давайте решим каждую задачу по порядку:

1) Найдите координаты вершин треугольника, если A(2; -1), N(0; -1), O(1; -2).

Чтобы найти координаты вершины B, нам нужно использовать свойство средней линии в треугольнике. Средняя линия делит сторону на две равные части и проходит через середину стороны. Таким образом, координаты вершины B будут равны сумме координат вершин A и O, разделенных на 2:

B(x; y) = (A + O) / 2

А(x1; y1) + O(x2; y2) = (x1+x2)/2, (y1+y2)/2

А(2; -1) + О(1; -2) = (2+1)/2, (-1-2)/2 = 3/2, -3/2

Координаты вершины B равны (3/2, -3/2).

Аналогично, чтобы найти координаты вершины C, нужно использовать свойство средней линии. В данном случае, координаты вершины C будут равны сумме координат вершин A и N, разделенных на 2:

C(x; y) = (A + N) / 2

А(x1; y1) + N(x2; y2) = (x1+x2)/2, (y1+y2)/2

А(2; -1) + N(0; -1) = (2+0)/2, (-1-1)/2 = 1, -1

Координаты вершины C равны (1, -1).

Таким образом, координаты вершин треугольника ABC равны A(2, -1), B(3/2, -3/2) и C(1, -1).

2) Найдите длины медиан АN и СМ.

Медиана - это линия, проходящая через вершину треугольника и середину противоположной стороны. Используя формулу для нахождения расстояния между двумя точками в декартовой системе координат, мы можем вычислить длину медианы АN и СМ.

Для медианы АN, нам нужно найти расстояние между точками A и N:

d(АN) = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]

d(АN) = √[(0-2)^2 + (-1-(-1))^2] = √[(-2)^2 + 0^2] = √[4] = 2

Таким образом, длина медианы АN равна 2.

Аналогично, для медианы СМ, нам нужно найти расстояние между точками C и M:

d(СМ) = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]

d(СМ) = √[(-1-0)^2 + (-1-(-3/2))^2] = √[(-1)^2 + (1/2)^2] = √[1 + 1/4] = √[5/4] = √[5]/2

Таким образом, длина медианы СМ равна √[5]/2 или 0.5*√[5].

3) Три вершины ромба находятся в точках A, B и C. Определите координаты его четвертой вершины.

Для определения координат четвертой вершины ромба, мы можем использовать свойство ромба, что противоположные стороны параллельны и все стороны равны.

Из рисунка на задании видно, что вершины A, B и C образуют две прямые, параллельные осям координат. Это означает, что четвертая вершина ромба будет иметь координаты, которые отличаются от координаты одной из вершин на равное расстояние в обоих направлениях.

Таким образом, чтобы найти координаты четвертой вершины (D), мы можем использовать симметрию ромба относительно середины сторон:

D(x; y) = 2 * O - A

D(x; y) = 2 * (1; -2) - (2; -1)

D(x; y) = (2*1 - 2; 2*(-2) - (-1))

D(x; y) = (0; -4 -(-1))

D(x; y) = (0; -4+1)

Координаты четвертой вершины D равны (0, -3).

Таким образом, координаты четвертой вершины ромба равны D(0, -3).

4) Докажите, что точка К(2; -3) принадлежит медиане АN и делит ее в отношении 1:2.

Для доказательства этого факта, мы можем использовать формулу для нахождения точки, которая делит отрезок в заданном отношении.

Для медианы АN, мы знаем, что она проходит через вершины A(2, -1) и N(0, -1). Чтобы доказать, что точка К(2, -3) принадлежит этой медиане и делит ее в отношении 1:2, нам нужно показать, что отношение расстояния от точки А до точки К к расстоянию от точки К до точки N равно 1:2.

Сначала найдем расстояние между точками А и К:

d(АК) = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]

d(АК) = √[(2-2)^2 + (-3-(-1))^2] = √[0 + (-2)^2] = √[4] = 2

Затем найдем расстояние между точками К и N:

d(КN) = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]

d(КN) = √[(2-0)^2 + (-3-(-1))^2] = √[(2^2) + (-2)^2] = √[4 + 4] = √[8] = 2√[2]

Теперь, чтобы доказать, что точка К(2, -3) принадлежит медиане АN и делит ее в отношении 1:2, мы должны показать, что:

d(АК) / d(КN) = 1/2

2 / (2√[2]) = 1/2

Упростим это:

2 * √[2] = 2/2

√[2] = 1

Таким образом, точка К(2, -3) принадлежит медиане АN и делит ее в отношении 1:2.