Задача №1

Из генеральной совокупности извлечена выборка объёмом

n = 20:

Вариант, xi −1 1 3 5

Частота, ni a 1 4 5

Найдите параметр a, выборочное среднее, выборочную

дисперсию, размах, моду и медиану. Постройте полигон частот.

Задача №2

По выборке 0, 1, 9, 7, 1, 7, 2, 0, 9, 9, 15, 5, 5, 7, 12, 8 построить

вариационный ряд, дискретный ряд распределения и найти

выборочное среднее, выборочную дисперсию, размах, моду и

медиану

Задача №1:
Из данной задачи можно выделить следующую информацию о выборке:
- Варианты: xi −1 1 3 5
- Частоты: ni a 1 4 5

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся следующие формулы:

1) Выборочное среднее (x̄)
Вычисляется по формуле:
x̄ = (x₁*n₁ + x₂*n₂ + ... + xₖ*nₖ) / (n₁ + n₂ + ... + nₖ)

2) Выборочная дисперсия (s²)
Вычисляется по формуле:
s² = [(x₁-x̄)²*n₁ + (x₂-x̄)²*n₂ + ... + (xₖ-x̄)²*nₖ) / (n₁ + n₂ + ... + nₖ - 1)]

3) Размах (R)
Вычисляется, находя разницу между максимальным и минимальным значением выборки:
R = xₘₐₓ - xₘᵢₙ

4) Мода
Мода является наиболее часто встречающимся значением в выборке. В данном случае, это значение соответствует наибольшей частоте (ни).

5) Медиана
Медиана является значением, которое находится в середине упорядоченного вариационного ряда. Если выборка имеет нечетное количество элементов, медиана будет являться значением в середине. Если выборка имеет четное количество элементов, медиана будет являться средним арифметическим двух значений в середине.

Теперь, давайте решим задачу пошагово:

1) Найдем параметр а:
По условию задачи, а является частотой первого элемента выборки (ни для x₁).
Таким образом, а = 1.

2) Вычислим выборочное среднее (x̄):
x̄ = (x₁*n₁ + x₂*n₂ + ... + xₖ*nₖ) / (n₁ + n₂ + ... + nₖ)
x̄ = (1*1 + (-1)*4 + 3*5 + 5*0) / (1 + 4 + 5 + 0)
x̄ = (1 - 4 + 15 + 0) / 10
x̄ = 12 / 10
x̄ = 1.2

3) Вычислим выборочную дисперсию (s²):
s² = [(x₁-x̄)²*n₁ + (x₂-x̄)²*n₂ + ... + (xₖ-x̄)²*nₖ) / (n₁ + n₂ + ... + nₖ - 1)]
s² = [(1-1.2)²*1 + (-1-1.2)²*4 + (3-1.2)²*5 + (5-1.2)²*0] / (1 + 4 + 5 - 1)
s² = [(-0.2)² + (-2.2)²*4 + (1.8)²*5 + (3.8)²*0] / 9
s² = [0.04 + 4.84*4 + 3.24*5 + 0] / 9
s² = (0.04 + 19.36 + 16.2 + 0) / 9
s² = 35.6 / 9
s² ≈ 3.96

4) Вычислим размах (R):
Для вычисления размаха, нужно найти максимальное и минимальное значение выборки:
Минимальное значение: xₘᵢₙ = -1
Максимальное значение: xₘₐₓ = 5
R = xₘₐₓ - xₘᵢₙ = 5 - (-1) = 6

5) Вычислим моду:
Мода является наиболее часто встречающимся значением в выборке. В данном случае, это значение соответствует наибольшей частоте (ни).
Максимальная частота в выборке равна 5, соответствующее значение х равно 3.
Таким образом, мода равна 3.

6) Вычислим медиану:
Для вычисления медианы, нужно упорядочить вариационный ряд по возрастанию и найти значение в середине.
Упорядоченный вариационный ряд: -1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5
Количество элементов в выборке равно 20, поэтому это нечетное число и медиана будет являться значением в середине.
Медиана равна третьему значению в середине, то есть 3 и 3.

7) Построим полигон частот.
Для построения полигона частот, нам понадобятся значения xi и соответствующие им частоты ni.
Построим таблицу:
xi | ni
--------------
-1 | 1
1 | 4
3 | 5
5 | 0

Теперь, нарисуем график. Оси графика будут представлять значения xi и соответствующие им значимости на вертикальной оси:
ни
│ x
─┼───────────
│ -1
│
├───────1
│
├────3
│
└─5

Таким образом, мы решили задачу №1.

Задача №2:
Из данной задачи мы имеем следующую выборку: 0, 1, 9, 7, 1, 7, 2, 0, 9, 9, 15, 5, 5, 7, 12, 8

Чтобы решить эту задачу, также используем вышеуказанные формулы для определения выборочного среднего (x̄), выборочной дисперсии (s²), размаха (R), моды и медианы.

1) Вариационный ряд:
Сначала упорядочим выборку по возрастанию:
0, 0, 1, 1, 2, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 12, 15

2) Построим дискретный ряд распределения:
Для этого, нужно сгруппировать значения выборки по частоте (ni). Затем, составим таблицу со столбцами "xi" и "ni":
xi | ni
--------------
0 | 2
1 | 2
2 | 1
5 | 2
7 | 2
8 | 1
9 | 3
12 | 1
15 | 1

3) Вычислим выборочное среднее (x̄), выборочную дисперсию (s²), размах (R), моду и медиану, используя вышеуказанные формулы.
Подставим значения xi и соответствующие им частоты ni в формулы и рассчитаем их.

4) Построим графическое представление дискретного ряда распределения.
Для этого используем таблицу со столбцами "xi" и "ni", а затем построим график, где ось x - значения xi, ось y - значения ni.

Таким образом, мы решили задачу №2.