Дано: f(x) = 7 - 8*x + 4*x²
М(1;4) - точка графика.
Найти: F(x)=?
Пошаговое объяснение: обратите внимание, что функция записана в обратном порядке степеней. Во-первых они имеют большее влияние, а во-вторых удобнее понять алгоритм интегрирования такой функции: степень увеличивается на единицу и такое же значение становится в знаменателе дроби.
Интегрируем - находим первообразную.
Теперь остаётся найти значение постоянной С по условию, что точка М принадлежит графику.
F(Mx) + C = My - условие задачи в общем виде. Находим значение С.
С = 4 - F(1) = 4 - (7*1 - 4*1² + 4/3*1³) = 4 - 4 1/3) = - 1/3 -постоянная.
F(x) = - 1/3 +7*x - 4*x² +4/3*x³ - первообразная - ответ.
·Дополнительно
Рисунок с графиками функции и первообразной - расчёт подтверждается.
Дано: y(x) = 2*x² - 1/3*x³
Найти экстремумы.
Пошаговое объяснение - оно больше чем требует задача, но нужно для построения графика - лишнее удалить.
1. Область определения D(y) ∈ R, Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.
2. Пересечение с осью OХ.
Разложим многочлен на множители. Y=x²*(x-6) = 0.
Нули функции: Х₁ =0, Х₂ =0, Х₃ =6
3. Пересечение с осью OY. Y(0) = 0.
4. Интервалы знакопостоянства.
Положительная - Y(x)≥0 X∈(-∞;0]U[0;6]
Отрицательная - Y(x)<0 X∈[6;+∞)
5. Исследование на чётность.
В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.
6. Первая производная. Y'(x) = -x² + 4*x = -х*(х-4) = 0
Корни Y'(x)=0. Х₄ =4 Х₅=0
7. Локальные экстремумы.
Максимум - Ymax(4) = 10 2/3 - ответ. (≈10,7)
Минимум - Ymin(0) = 0 - ответ.
8. Интервалы возрастания и убывания.
Убывает Х∈(-∞;0;]U[6;+∞) ,возрастает - Х∈[6;0]
12. Вторая производная - Y"(x) = -2*x +4 = -2*(х-2) = 0
Корень производной - точка перегиба - Х₆=2
13. Вогнутая “ложка» Х∈(-∞; Х₆ = 2]
Выпуклая – «горка» Х∈[Х₆ = 2; +∞).
14. График в приложении.
