f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)
Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки
(
−
∞
;
−
2
)
,
(
−
2
;
3
)
,
(
3
;
5
)
и
(
5
;
+
∞
)
Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.
Выражение (х + 2)(х - 3)(х - 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:
(
−
∞
;
−
2
)
(
−
2
;
3
)
(
3
;
5
)
(
5
;
+
∞
)
x+2 – + + +
x-3 – – + +
x-5 – – – +
Отсюда ясно, что:
если
x
∈
(
−
∞
;
−
2
)
, то f(x)<0;
если
x
∈
(
−
2
;
3
)
, то f(x)>0;
если
x
∈
(
3
;
5
)
, то f(x)<0;
если
x
∈
(
5
;
+
∞
)
, то f(x)>0.
Мы видим, что в каждом из промежутков
(
−
∞
;
−
2
)
,
(
−
2
;
3
)
,
(
3
;
5
)
,
(
5
;
+
∞
)
функция сохраняет знак, а при переходе через точки -2, 3 и 5 ее знак изменяется.
-2 3 5
Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x1)(x-x2) ... (x-xn),
где x–переменная, а x1, x2, ..., xn – не равные друг другу числа. Числа x1, x2, ..., xn являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.
Это свойство используется для решения неравенств вида
(x-x1)(x-x2) ... (x-xn) > 0,
(x-x1)(x-x2) ... (x-xn) < 0,
где x1, x2, ..., xn — не равные друг другу числа
Рассмотренный решения неравенств называют методом интервалов.
Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.
Решить неравенство:
x
(
0
,
5
−
x
)
(
x
+
4
)
<
0
Очевидно, что нулями функции f(x) = x(0,5-x)(x+4) являются точки
x
=
0
,
x
=
1
2
,
x
=
−
4
Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:
-4 0 0,5
Выбираем те промежутки, на которых функция меньше нуля и записываем ответ.
x
∈
(
−
4
;
0
)
∪
(
0
,
5
;
+
∞
)
или
−
4
<
x
<
0
;
x
>
0
,
5
Решить неравенство:
x
+
2
x
−
1
≤
2
x
+
2
x
−
1
≤
2
⇒
x
+
2
−
2
(
x
−
1
)
x
−
1
≤
0
⇒
−
x
+
4
x
−
1
≤
0
Наносим на числовую ось нули и точки разрыва функции:
1 4
Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.
x
∈
(
−
∞
;
1
)
∪
[
4
;
+
∞
)
или
x
<
1
;
x
≥
4
200 страниц, прочитал ученик в первый день
Пошаговое объяснение:
Ученик за 3 дня прочитал книгу, в которой 330 страниц. На другой день он прочитал 30% от того, что прочитал в первый день, а на третий день остальные 70 страниц. Сколько страниц прочитал ученик в первый день?
первый день это х (икс)
тогда второй день это (30/100)*х = 0,3*х
уравнение:
0,3*х + х = 330-70
1,3х = 260
х = 260/1,3
х = 200 страниц, прочитал ученик в первый день
проверка
во второй день ученик прочитал (30/100)*200=60
200+60+70=330 страниц, всё верно
