Дано координати 4 вершин піраміди ABCD:
A(3;2;1);B(5;7;9);C(2;0;1);D(3;0; 11;).
1) |AB| = √((5-3)² + (7-2)² + (9-1)²) = √(4 + 25 + 64) = √93 ≈ 9,64365.
2) AB: (x - 3)/2 = (y - 2)/5 = (z - 1)/8 это каноническая форма,
{x = 2t + 3
{y = 5t + 2
{x = 8t + 1 это параметрическое уравнение прямой АВ.
BC: (x - 5)/(-3) = (y - 7)/(-7) = (z - 91)/(-8) это каноническая форма,
{x = - 3t + 5
{y = - 7t + 7
{x = - 8t + 9 это параметрическое уравнение прямой BC.
3) кут між ребрами AB і BC;
Находим скалярное произведение AB і BC:
AB* BC = 2*(-3) + 5*(-7) + 8(-8) = -6 - 35 - 64 = -105.
Модули: АВ = √93 (определен выше),
ВС = √((-3² + (-7)² + (-8)²) = √(9 + 49 + 64) = √122.
cos(AB∧BC) = |-105|/(√93*√122) = 0,9858.
Угол равен 0,16901 радиан или 9,6833 градуса.
4) Рівняння ABC.
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости АВС получим из выражения:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, получаем уравнение:
АВС: 16x - 8y + 1z - 33 = 0.
Это же уравнение можно получить матричным
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0.
Подставим данные и упростим выражение:
x - 3 y - 2 z - 1
5 - 3 7 - 2 9 - 1
2 - 3 0 - 2 1 - 1 = 0
x - 3 y - 2 z - 1
2 5 8
-1 -2 0 = 0
(x - 3) ( 5·0-8·(-2)) - (y - 2) (2·0-8·(-1)) + (z - 1) (2·(-2)-5·(-1)) = 0
16 x - 3 + (-8) y - 2 + 1 z - 1 = 0
16x - 8y + z - 33 = 0.
5) Площа трикутника ABC определяется по Герону.
a(ВС) b(АС) c(АВ) p 2p S
11,0454 2,2361 9,6437 11,4625 22,9251 8,958
122 5 93 (это квадраты сторон)
cos A = -0,5565 cos B = 0,9858 cos С = 0,68831
Аrad = 2,16095 Brad = 0,16901 Сrad = 0,81164
Аgr = 123,8132 Bgr = 9,6833 Сgr = 46,5035
6) Об'єм ABCD.
Находится как (1/6) смешанного произведения (AB*AC)*AD.
x y z
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} 2 5 8
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} -1 -2 0
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} 0 -2 10
Объем пирамиды равен:
(AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3 Произведение векторов
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.
ABC [AB ; AC] = 16 -8 1
Объем пирамиды
x y z
AB*AC 16 -8 1
AD 0 -2 10
Произвед 0 16 10 сумма = 26.
V = (1/6) * 26 = 4,3333.
