y = x⁵ - 10x³ - 135x
y' = 5x⁴ - 30x² - 135 по правилу (xⁿ)' = n * xⁿ⁻¹
Находим точки экстремума:
5x⁴ - 30x² - 135 = 0
Замена x² = t
5t² - 30t - 135 = 0 | :5
t² - 6t - 27 = 0
t₁ = 9, t₂ = -3
Обратная замена:
x² = 9 ⇒ x = -3, x = 3
x² = -3 -- не имеет действительных корней
x = 3 не принадлежит отрезку [-5; 0]. Подставляем в функцию y(x) значения -5, -3, 0:
y(-5) = (-5)⁵ - 10*(-5)³ - 135*(-5) = -3125 + 1250 + 675 = -1200
y(-3) = (-3)⁵ - 10*(-3)³ - 135*(-3) = -243 + 270 + 405 = 432
y(0) = 0⁵ - 10*0³ - 135*0 = 0 - 0 - 0 = 0
432 > 0 > -1200 ⇒ Наибольшее значение функции на отрезке [-5; 0] равно 432
Для двух соседних четных или двух соседних нечетных ничего доказывать не нужно. Очевидно, что:
2n + 2(n+k) = 2(2n+k) - четное при любых n; k∈N, и
(2n - 1) + (2(n+k) - 1) = 2(2n+k) - 2 - четное при любых n; k∈N.
Допустим, что все числа написаны в максимально "неприятном" для нас порядке, - четные и нечетные числа чередуются. Возможны 2 варианта: первое число четное и первое число нечетное.
В первом случае рядом оказываются четные числа под номерами 1 и 7 (если первое число четное и равно 2n, то и седьмое также четное и равно 2(n + k). n; k∈N).
Во втором случае рядом оказываются нечетные числа под номерами 1 и 7 (если первое число нечетное и равно 2n - 1, то и седьмое число также нечетное и равно 2(n + k) - 1. n; k∈N).
Понятное дело, что сумма двух четных так же, как и сумма двух нечетных чисел, есть число четное:
2n + 2(n + k) = 2(2n + k) - четное при любых n; k∈N,
2n - 1 + 2(n + k) - 1 = 2(2n + k) - 2 - четное при любых n; k∈N.
Таким образом, при любом размещении семи натуральных чисел по кругу всегда найдутся два соседних, сумма которых четна.
